Futility Closet é un dos poucos blogues que continúan publicando contidos interesantes relacionados coas matemáticas, no seu caso desde... hai 21 anos! Levo seguindo o seu feed hai lustros, xunto con kottke ou TYWKIWDBI dentro da categoría "Varios"(reminiscencias dos cassettes gravados dos 80/90, imaxino), onde antes tamén estaban Neatorama ou BoingBoing, que deixei de seguir porque me abafaba o seu ritmo de publicación, ou The Presurfer, porque, tristemente, o seu autor morreu. Tamén tiña por aló Passion for Puzzles, do que xa nin atopo a URL. E outros que xa nin lembro, seguramente.
Futility Closet publica unhas 12 entradas á semana, segundo Feedly. A estas alturas da vida, adoito ler de verdade só as entradas baixo as etiquetas Puzzles ou Science&Math, e ás veces as Oddities. E das de Puzzles paso por riba dos problemas de xadrez, porque, en fin, por isto. E en moitas ocasións leo entradas nas que hai problemas que non tento resolver, supoño que será a idade, a falta de tempo, ou quen sabe por que.
Mais esta semana vin un problema, aparentemente estándar e sinxelo, do que me chamou unha cousa a atención.
When A was three times as old as B was the year before A was a half of B’s present age, B was 3 years younger than A was when B was two thirds of A’s present age. A’s and B’s ages now total 73. How old are A and B?
É tan enleado que me custa traducilo:
Cando A tiña o triplo da idade que tiña B o ano antes de que A tivese a metade da idade actual de B, B tiña 3 anos menos dos que tiña A cando B tiña dous terzos da idade actual de A. As idades actuais de A e B suman 73. Cantos anos teñen A e B?
Vedes por que digo que era estándar? Un problema deses de idades, dos de "cando non sei quen tiña a idade de non sei cal..." Insira aquí emoji cos ollos case en branco.
E por que parei un anaco neste problema, se parecía tan estándar?
Adiviñades?
Veña, poño un gif en troques de emoji, para que non leades aínda a razón e poidades sentir o éxito mínimo de adiviñalo vós:
A razón foi que me pareceu raro que fose necesario dar a suma das idades actuais, habendo un texto previo tan longo. Polo que tiven que resolvelo para saber que sucedía para que tanto texto non fose abondo para atopar as idades.
E como xa non teño que corrixir máis exames durante unha temporada, velaquí a miña solución, da que non estou moi orgulloso, pois teño a sensación de que pode ser afinada. Xulgade vós, como sempre, e se tedes unha mellora, xa sabedes.
Vaiamos por partes, que estas frases poden facer estoupar a nosa memoria operativa:
Cando A tiña o triplo da idade que tiña B o ano antes de que A tivese a metade da idade actual de B,
O primeiro que hai que dilucidar é cando tivo A a metade da idade actual de B, é dicir, cando tivo A $\frac{B}{2}$. E o quid da cuestión está en decatarse de que é máis sinxelo do que parece: simplemente sucedeu hai $A-\frac{B}{2}$ anos.
Sigamos co anterior desa frase.
Cantos anos tiña B o ano antes ao que acabamos de descifrar? En primeiro lugar, iso sucedeu un ano antes, i.e., hai $A-\frac{B}{2}+1$ anos, e daquela B tiña $B- \left(A-\frac{B}{2}+1 \right)=\frac{3B}{2}-A-1$
A tiña o triplo desa idade, ou sexa, $\frac{9B}{2}-3A-3$, e cando foi iso? Pois usando outra vez o mesmo subterfuxio, hai $A-\left(\frac{9B}{2}-3A-3\right)=4A-\frac{9B}{2}+3$ anos.
Uf.
Imos coa segunda parte do conto.
...B tiña 3 anos menos dos que tiña A cando B tiña dous terzos da idade actual de A.
Imos ter que utilizar a última expresión do parágrafo anterior, pero antes, one more time, empezar polo final.
Cando tivo B dous terzos da idade actual de A? Hai $B-\frac{2A}{3}$. E daquela A tiña $A- \left(B-\frac{2A}{3}\right)=\frac{5A}{3}-B$
E B tiña 3 anos menos, i.e., $\frac{5A}{3}-B-3$. Cando? Hai $B-\left(\frac{5A}{3}-B-3\right)=2B-\frac{5A}{3}+3$
Uf outra vez.
Agora ademais hai que pasar unha pequena crise. COMO SEGUIMOS?
E este é o momento de decatarse de que todo o anterior só proporciona UNHA MALDITA ECUACIÓN.
Como?
Observando que as dúas condicións analizadas por separado suceden ao mesmo tempo, polo que as dúas expresións obtidas ao final dos dous parágrafos coincicen:
$$4A-\frac{9B}{2}+3=2B-\frac{5A}{3}+3 \rightarrow 4A-\frac{9B}{2}=2B-\frac{5A}{3} \rightarrow \frac{17A}{3}=\frac{13B}{2}\rightarrow$$
$$34A=39B$$
E aquí vemos que como non sabemos se as idades son enteiras ou polo menos verosímiles, necesitamos outra condición, e aí entra a suma das idades, 73, que xa fai inevitable o obvio, que A=39, B=34.
Por que non quedei contento con esta solución? Porque a ecuación obtida, $34A=39B$, é tan sinxela que me fai pensar que non estou vendo algo. Iluminádeme, amables lectores, que agora teño tempo.
0 comentarios:
Publicar un comentario