De 2D a 3D

Cando traballamos a xeometría en tres dimensións nas aulas de 2º e 3º de ESO adoita suceder un fenómeno curioso: calquera problema orixinalmente proposto en tres dimensións tende a ser resolto levando as dificultades ao plano. A ubicua triangulación da xeometría produce que, collendo calquera tres puntos na figura orixinal, rematemos cun triángulo, por tanto nun plano. Exemplos obvios son os cálculos métricos en poliedros, cilindros e conos; o máis típico e que apareza máis cedo quizais sexa o cálculo da diagonal espacial dun cubo ou dun ortoedro calquera:

Pitágoras a tutiplén

Quizais esta situación recorrente de buscar as dúas dimensións estea relacionada coa nosa capacidade "binaria", que podemos detectar observano como facemos operacións nas que interveñen varios números.

Hoxe quérovos falar de exemplos nos que a viaxe se fai no sentido contrario, problemas en dúas dimensións que se entenden mellor ou  se resolven máis facilmente en tres dimensións. O primeiro exemplo atopeino no fantástico The Mathematical Experience, de Philip Davis e Reuben Hersh, aínda que a fonte orixinal é o previo Mathematical Discovery do grande matemático George Pólya, co que dei posteriormente:

Tres circunferencias k, l e m teñen o mesmo radio, r, e pasan polo mesmo punto O. Ademais, l e m intersécanse no punto A, m e k en B e l e k en C. Entón a circunferencia que pasa polos puntos A, B e C tamén ten radio r.

A simple vista temos moito que roer: cal é o centro desa nova circunferencia? Tendo en conta a variabilidade dos puntos A, B e C, poderemos calcular o radio sen coñecer o centro?

Como G. Polya ten o obxectivo de estudar a aprendizaxe e o ensino da resolución de problemas, segue detalladamente o proceso creativo de resolución. Resumindo, se consideramos os centros das circunferencias orixinais e os radios ata os puntos de intersección, obtemos unha figura ben interesante e estrañamente recoñecible:

Semella que chouta do plano

Quedemos con ese cubo imposible de obviar:

   

O problema orixinal pode ser resolto demostrando que "se as lonxitudes KO, KC, KB, LO, LC, LA, MO, MA, MB son iguais a r, existe un punto E tal que as lonxitudes EA, EB, EC son tamén iguais a r"

Doutro xeito: os cuadriláteros KBOM, OMAL e OLCK son rombos, polo que os lados que vemos paralelos son en efecto paralelos. A figura pode ser interpretada como a proxección dun paralelepípedo do que só vemos 7 vértices, 3 caras e 9 arestas.

Se incluímos o punto E, centro da circunferencia da que queremos determinar o radio, veremos o vértice restante xunto coas outras 3 caras e arestas:

   

Como as arestas que víamos orixinalmente son iguais a r baixo esta proxección, as 3 arestas que apareceron agora teñen tamén que ser iguais a r. Finalmente podemos escribir q.e.d.

Como esta entrada xa é algo longa, emprázovos para o vindeiro capítulo, no que veremos un exemplo máis curvo.