Quen di que as Matemáticas son inútiles?

Tranquilos que non vou facer unha enumeración de tódalas situacións da vida nas que aparecen implícita ou explicitamente as Matemáticas. Non, hoxe quero amosar que as Matemáticas son útiles do xeito que os alumnos queren ver: o relacionado cos cartos.

Se tedes tempo e ganas, hai unha oportunidade de gañar cartos resolvendo uns problemas relacionados cos cadrados máxicos. Por se alguén non o sabe, un cadrado máxico non é máis que unha táboa cadrada de números na que as sumas de cada ringleira, columna e de cada unha das dúas diagonais é a mesma.
O máis coñecido é o cadrado máxico 3x3:

onde a suma das 3 ringleiras, as 3 columnas e as 2 diagonais é 15 (cos números do 1 ao 9 non podía ser outra).

Hai moita máis liberdade para elaborar cadrados máxicos se non restrinximos os números aos primeiros números naturais. Por exemplo, o seguinte tamén é un cadrado máxico:



Agora seguro que pensades que é sinxelo crear cadrados máxicos. Resulta máis complicado crear cadrados máxicos suxeitos a certas condicións especiais. Por exemplo, o xenio Leonhard Euler creou o seguinte cadrado máxico 4x4 (con suma 8515):

Que non semella moi especial, non? Ata que un ve que tódolos elementos son cadrados perfectos:


Curiosamente, Euler atopou este exemplo dun cadrado máxico 4x4 onde tódolos elementos son cadrados perfectos en 1770, sen embargo hoxe en día aínda non se coñece ningún exemplo dun cadrado máxico 3x3 onde tódolos elementos sexan cadrados perfectos, o que a priori parece un problema máis sinxelo.

O cadrado máxico (ata o momento) máis preto de resolver ese problema é o seguinte:



no que tódolos elementos agás dous son cadrados perfectos, e foi a topado por Andrew Bremner.

Volvendo ao tema principal do post, os cartos, o informático Christian Boyer ofrece 1000 € e unha botella de champán por resolver o problema relacionado, en versión "light":

Construír un cadrado máxico 3×3 utilizando sete (ou oito, ou nove) cadrados perfectos distintos que sexa diferente do único exemplo coñecido e das súas rotacións, simetrías e múltiplos k² (dado un cadrado máxico, é sinxelo crear outro multiplicando cada elemento por un cadrado perfecto que escollamos). Ou probar que é imposible.

Tamén ofrece 1000 € e unha botella de champán por outros 5 enigmas principais e cantidades comprendidas entre 100 € e 500 € (máis a botella, que non falte) por outros seis enigmas "menores". A información completa está na súa web, e un resumo neste pdf,

What are the smallest possible magic squares?

Para ser exactos, xa non hai 6 enigmas principais e 6 enigmas menores, pois Toshihiro Shirakawa, de Xapón, resolveu xa o principal #5 e o menor #3a. Así que bulide se queredes os cartos (e o champán).