Un novo teorema da sucesión de Fibonacci

Hai un par de séculos, cando estudaba sobrevivía os primeiros cursos da carreira de Matemáticas, pasei unha época na que lin unha morea de libros de Matemáticas Recreativas das bibliotecas. Daquela rematei a sección da Biblioteca Pública de Ferrol, que estaba chea dos libros de Martin Gardner (lembro tamén unha edición española da Matemática Demente de Lewis Carroll, traducida por Leopoldo M. Panero), e mergulleime na extensa e (na miña opinón) pouco coñecida colección de libros "lúdicos" da Biblioteca da Facultade de Matemáticas da USC.

Un dos temas recorrentes das Matemáticas Recreativas é, como xa comentei algunha vez, o da Sucesión de Fibonacci, que ten unha auréola de misticismo moi axeitada para as ensoñacións dos magufos.

Lendo un destes libros lúdicos atopei a devandita sucesión, que xa coñecía desde os tempos do instituto. E como non podía ser doutro xeito, púxenme a fedellar cos elementos. Para os que non coñezades aínda a sucesión, os dous primeiros elementos son iguais a 1, e os posteriores cumpren a condición (de recorrencia) de coincidiren coa suma dos dous anteriores. É dicir

$$F_1=1$$

$$F_2=1$$

$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$

De tal xeito que:

$$F_3=F_2+F_1=1+1=2$$

$$F_4=F_3+F_2=2+1=3$$

$$F_5=F_4+F_3=3+2=5$$

$$F_6=F_5+F_4=5+3=8$$

...

Chegando á famosa sucesión que comeza:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...

Inxenuo como era eu, non puiden evitar pensar que atopara un novo teorema na sucesión de Fibonacci cando observei o seguinte:

Se calculas os cadrados de cada dous termos consecutivos e despois os sumas:

$$F_1^2+F_2^2=1^2+1^2=1+1=2$$

$$F_2^2+F_3^2=1^2+2^2=1+4=5$$

$$F_3^2+F_4^2=2^2+3^2=4+9=13$$

$$F_4^2+F_5^2=3^2+5^2=9+25=34$$

$$F_5^2+F_6^2=5^2+8^2=25+64=89$$

Está claro xa?

A ver... non soa a nada a columna da dereita?

En efecto, está tamén na sucesión de Fibonacci, só que un pouco máis á dereita.

En concreto:

$$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$$

Pouco dura a felicidade na casa do pobre... O feito era certo, a demostración non me levou moito, mais novo, o que se di novo, o teorema non era. Unhas páxinas máis adiante atopei a seguinte fórmula:

$$F_{n+k}=F_k \cdot F_{n+1}+F_{k-1} \cdot F_n$$

Da que inmediatamente obtemos o meu "novo" teorema collendo k = n+1

Visto en retrospectiva, que indicios podía ter eu para poder ter adiviñado que ese teorema non ía ser novo en absoluto?

• Primeiro, moi evidente: eu, que non me chamo Gauss nin Euler, puiden observar o feito en cuestión despois de fedellar uns minutos cos números.
• Segundo, relacionado co contido: non esperes atopar un feito descoñecido calculando cadrados nunha sucesión.
• Terceiro, un pouco de picardía: a sucesión de Fibonacci é dos obxectos matemáticos máis coñecidos, incluso para os non matemáticos. Un feito aritmético dese calibre puido ser observado por calquera; o que implica case con seguridade que en efecto foi observado.

Aínda así, a sensación de ter atopado unha regularidade matemática por un mesmo, sen necesidade de que o profesor ou un libro te dirixan, é unha das razóns que fan singulares ás Matemáticas. Xunto coa de resolver un problema despois de moito pelexar, converten á experiencia matemática en irrepetible.