LIII Olimpiada Matemática Española

Esta fin de semana celebrouse en Alcalá de Henares a LIII Olimpíada Matemática Española para alumnos de bacharelato. Souben dos problemas que caeron nun grupo de profesores de Matemáticas no que participo en Facebook, e non puiden evitar roerlle ao primeiro, que adoita ser o máis sinxelo, e que este ano tiña que ver con números naturais. Observade:

Determina o número de valores distintos da expresión

$$\frac{n^2-2}{n^2-n+2}$$

onde $n \in \{1,2,3,\dots,100\}$

Por variar un pouco, vou compartir a solución que atopei; e para que non vexades a miña solución antes de terdes oportunidade de pensar unha vós mesmos, déixovos unha interesante figura que vin en xaneiro en futility closet:

Ide a Futility Closet por máis información

Eis a solución:

A estratexia vai consistir en calcular os valores distintos do 1 ao 100 que teñen a mesma imaxe pola función $f(n)=\frac{n^2-2}{n^2-n+2}$

O certo é que resulta máis sinxelo do que vaticinei ao ver a expresión. Supoñamos que n e m son valores distintos entre 1 e 100 que cumpren que $f(n)=f(m)$. Entón:

$$\frac{n^2-2}{n^2-n+2}=\frac{m^2-2}{m^2-m+2}$$

$$(n^2-2)(m^2-m+2)=(n^2-n+2)(m^2-2)$$

$$n^2m^2-n^2m+2n^2-2m^2+2m-4=n^2m^2-2n^2-nm^2+2n+2m^2-4$$

$$nm^2-n^2m+4n^2-4m^2+2m-2n=0$$

$$nm(m-n)+4(n+m)(n-m)+2(m-n)=0$$

$$(m-n)[nm-4(n+m)+2]=0$$  

Como n e m son distintos, o segundo factor ten que anularse:

$$nm-4n-4m+2=0$$

Esta ecuación pode resolverse de varios xeitos, por exemplo despexando unha das incógnitas e impoñendo posteriormente que tome valores naturais, mais observando a simetría do polinomio é máis limpo así:

$$(n-4)(m-4)-14=0 \rightarrow (n-4)(m-4)=14$$

$$\Longrightarrow \begin{cases} \begin{cases}n-4=14 \\ m-4=1 \end{cases} \\ \ \ \ ou \\ \begin{cases}n-4=7 \\ m-4=2 \end{cases} \end{cases}$$

A priori podería haber divisores negativos de 14, p.ex. $n-4=-2$, pero provocaría que o outro factor fose $m-4=-7$ e por tanto m non sería natural.

En conclusión, só temos as solucións $$(n,m)=(18,5) \ e  \ (n,m)=(11,6)$$

Isto implica que todos os números do 1 ao 100 dan valores distintos da función f(n) agás estas dúas parellas, polo que hai 98 valores distintos