Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

26.3.17

LIII Olimpiada Matemática Española



Esta fin de semana celebrouse en Alcalá de Henares a LIII Olimpíada Matemática Española para alumnos de bacharelato. Souben dos problemas que caeron nun grupo de profesores de Matemáticas no que participo en Facebook, e non puiden evitar roerlle ao primeiro, que adoita ser o máis sinxelo, e que este ano tiña que ver con números naturais. Observade:

Determina o número de valores distintos da expresión
n22n2n+2
onde n{1,2,3,,100}

Por variar un pouco, vou compartir a solución que atopei; e para que non vexades a miña solución antes de terdes oportunidade de pensar unha vós mesmos, déixovos unha interesante figura que vin en xaneiro en futility closet:


Ide a Futility Closet por máis información

Eis a solución:

A estratexia vai consistir en calcular os valores distintos do 1 ao 100 que teñen a mesma imaxe pola función f(n)=n22n2n+2

O certo é que resulta máis sinxelo do que vaticinei ao ver a expresión. Supoñamos que n e m son valores distintos entre 1 e 100 que cumpren que f(n)=f(m). Entón:

n22n2n+2=m22m2m+2
(n22)(m2m+2)=(n2n+2)(m22)
n2m2n2m+2n22m2+2m4=n2m22n2nm2+2n+2m24
nm2n2m+4n24m2+2m2n=0
nm(mn)+4(n+m)(nm)+2(mn)=0
(mn)[nm4(n+m)+2]=0 
Como n e m son distintos, o segundo factor ten que anularse:
nm4n4m+2=0
Esta ecuación pode resolverse de varios xeitos, por exemplo despexando unha das incógnitas e impoñendo posteriormente que tome valores naturais, mais observando a simetría do polinomio é máis limpo así:
(n4)(m4)14=0(n4)(m4)=14
{{n4=14m4=1   ou{n4=7m4=2
A priori podería haber divisores negativos de 14, p.ex. n4=2, pero provocaría que o outro factor fose m4=7 e por tanto m non sería natural.
En conclusión, só temos as solucións (n,m)=(18,5) e (n,m)=(11,6)
Isto implica que todos os números do 1 ao 100 dan valores distintos da función f(n) agás estas dúas parellas, polo que hai 98 valores distintos

0 comentarios:

Publicar un comentario