Outro problema de grellas

Hai un problema clásico das matemáticas recreativas polo que pasei rozando neste blog, e que volveu capturar a miña atención debido á alerta que me avisa do que se publica en math stack exchange. Soará estraño, mais o que viña nesa alerta non era a situación que é obxecto desta entrada, senón outra da que hei falar noutra ocasión, e que trata de saber analiticamente se un rectángulo cae dentro doutro rectángulo. E non sei moi ben a razón, mais esa cuestión e a que vou comentar nun intre están gardadas moi preto unha da outra na miña memoria.

Pois ben, consideremos o rectángulo que ten como vértices (0,0), (m,0), (m,n) e (0,n), e marquemos os m·n cadrados unitarios que contén. Se debuxamos a diagonal de (0,0) a (m,n), por cantos deses cadrados pasa, se falamos de pasar polo interior deles?

Rectángulo 8·6, cadrados resaltados

Se un fai un par de probas con diferentes dimensións, o primeiro que observará é que atopar ese número de cadrados se reduce a calcular por cantos puntos reticulares(i.e, coas dúas coordenadas enteiras, os vértices dos cadrados na nosa grella) pasa a diagonal, pois por cada punto reticular polo que pase a diagonal haberá que restar un cadrado do máximo teórico. Máximo que se alcanza no exemplo seguinte, por exemplo:

Ningún punto reticular na diagonal agás os extremos

Esta situación é ben frutífera, pois hai un feixe de cuestións a explorar, despois de atopar a expresión que nos dea o número de cadrados vía o número de puntos reticulares na diagonal:

• Como é o patrón das secuencias horizontais de cadrados? No exemplo 8·5 é 2-3-2-3-2
• Es quen de atopar un exemplo de rectángulo para cada un dos casos intermedios entre 0 cadrados e n+m-1 cadrados?
• ...

Por outra banda, a situación tamén é modificable/xeneralizable, variando as figuras que aparecen:

• Se en troques de trazar a diagonal, segmento rectilíneo entre os vértices, debuxamos outro camiño entre eses dous puntos?

Parábolas, unha delas función cuadrática de x e a outra, radical            

• E se trocamos o rectángulo e os cadrados por paralelogramos? Triángulos? Outros polígonos?Nestes casos habería que refacer as normas do xogo; por exemplo cos paralelogramos, consideramos paralelogramos "unitarios" ou semellantes ao paralelogramo orixinal? As dúas situacións son ben diferentes...

Ocórresevos algunha outra modificación á situación de inicio? Please feel free to comment.

Sirva esta como última entrada do 2019. Matemáticas na Rúa volve en 2020, abofé que si.