Camiños en grellas

Hai tres anos tiven que pasar un par de horas nunha sala de espera dun hospital (por certo, quen deseña os corredores de urxencias? o mesmo que coloca os encerados nos institutos para que non se vexa nada cando sae o sol?). Non tiña nada para ler, nin papel para escribir, e o móbil apagueino, como solicitaba un aviso na parede que tódolos demais ocupantes da sala parecían non ver.

Así que estiven a observar o deseño e o mobiliario da sala. Ben cedo atopei algo co que pasar o tempo.

No teito as lámpadas formaban unha grella rectangular. Algo semellante a isto:

Plafón cadrado 4x4

Mais a que había naquel teito non era cadrada, senón un rectángulo de lados desiguais:

Lámpada rectangular 3x6

Isto foi unha sorte para o meu aburrimento. Veredes por que:

Buscando algo que facer, comecei a fedellar (mentalmente) co rectángulo e os seus cadrados. Despois de non moito tempo enchendo o rectángulo con pezas do Tetris e similares (un ten un pasado), empecei a facer camiños que comezasen e rematasen nunha esquina calquera do cadrado. A norma para o rebote era sinxela. Vexámola nun modelo do plafón de enriba:

Rebote

Isto levoume a pensar en cantos pasos levaría chegar a unha esquina calquera do rectángulo. Tendo en conta que os camiños poden auto-intersecarse:

Grella 3x6

No caso anterior vemos que o camiño leva 11 pasos. Cal foi a primeira pregunta que me veu á mente? 

Obviamente: que ten que ver o número 11 coas dimensións da grella, 3x6?

Observemos que ocorre con outra grella ao chou, p.ex. 4x5:

Grella 4x5

Vemos que nesta grella o camiño mide 13 pasos.

É claro por que dixen antes que foi unha sorte que o plafón non fose cadrado, non si? O camiño sería simplemente a diagonal do cadrado, e a súa lonxitude igual ao lado do cadrado.

O problema xeral de atopar a relación entre as dimensións da grella e a lonxitude do camiño resultou ben interesante. Alén diso, hai máis preguntas que xorden rapidamente (algunha, curiosamente, moito máis sinxela de respostar):

• Cantos cadrados distintos aparecen no camiño? É dicir, canto mide o camiño se descontamos os cadrados que aparecen varias veces? Nos exemplos anteriores, 3x6 e 4x5, os valores serían 9 e 10, respectivamente.

• Que ocorrería se pensamos os camiños como liñas en troques de cadrados, e o rebote fose do xeito indicado embaixo?

Sendo máis sinxelo, dá unha pista sobre o 1º problema

Un tempo despois de pasar esas horas naquela sala atopei este post no blogue do abraiante Dan Meyer: 

What Can You Do With This:Will It Hit The Corner?

Probablemente ese post foi a razón pola que tardei tanto tempo en escribir este. Quizais outro día escriba a solución ao problema. Aínda que a diversión, como digo sempre (acó e nas aulas), está en resolvelo un mesmo. Achades vós outras preguntas interesantes neste problema de camiños en grellas? Non dubidedes e comentádeas.