Máis problemas de Portugal

Cometín o erro de pasar pola web das Olimpíadas Matemáticas Portuguesas, como se fose novato no choio, pois xa tiven que pasar un anaco pensando varios dos problemas que atopei na proba final da categoría B, 10º/12º anos. Problemas que consisten, se tivésemos que resumir, en sumar números. Sumar, ahá. Iso non pode ser moi complicado. Vexámolos:

A Joana dividiu 365 por todos os inteiros desde 1 a 365 e somou todos os restos. Depois dividiu 366 por todos os inteiros desde 1 a 366 e também somou todos os restos. Qual das duas somas é maior e qual é a diferença entre elas?

Coido que nunca pensara unha cousa semellante, polo que tiven que poñerme. Despois do enunciado do outro problema, a miña solución.

Consideram-se todas as sequências de k elementos $(a_1, a_2, \dots, a_k) $ onde cada $a_i$ pertence ao conjunto $ \lbrace 1,2, \dots ,2021 \rbrace$  Qual é a soma dos menores elementos de todas estas sequências?

Este tamén me prestou, pero lembro lixeiramente resolver algún problema relativamente similar na época na que debería preparar as oposicións, hai case 20 anos. Polo que non me abraiou do mesmo xeito que o outro. Último aviso, que vén a miña solución.

O primeiro no que pensa un que estudou Matemáticas é en formalizar ao máximo o que sucede. Neste caso, para expresar a suma referida ao número 365, hai que atopar un xeito de escribir os restos das divisións. Pensemos na división por un número calquera, poñamos 34, a ver que sucede:

$365=34 \cdot 10+25$

De tal xeito que $25=365-34 \cdot 10$, polo que se atopamos un xeito de expresar o cociente, automaticamente expresaremos o resto.

E claro, haino:

Quen é 10? A parte enteira da división $365:34$, coa notación estándar, $10=\left[\frac{365}{34}\right]$

Polo que a suma dos restos que deixa 365 queda $$\sum \limits_{n=1}^{365} \left( 365- n \cdot \left[\frac{365}{n} \right] \right)$$

E a de 366, $$\sum \limits_{n=1}^{366} \left( 366- n \cdot\left[ \frac{366}{n}\right]\right)$$

Se un bota unhas poucas contas das implicadas nas sumas, verá que os sumandos respectivos adoitan coincidir, aínda que ao comezo non se vexa ben:

$$\left[\frac{365}{1} \right]=365 \neq 366=\left[\frac{366}{1}\right] $$

$$\left[\frac{365}{2} \right]=182 \neq 183=\left[\frac{366}{2}\right] $$

$$\left[\frac{365}{3} \right]=121 \neq 122=\left[\frac{366}{3}\right] $$

$$\left[\frac{365}{4} \right]=91=\left[\frac{366}{4}\right] $$

$$\left[\frac{365}{5} \right]=73=\left[\frac{366}{5}\right] $$

$$\left[\frac{365}{6} \right]=60 \neq 61=\left[\frac{366}{6}\right] $$

Vese xa a pauta?

Que teñen de característico os valores onde non coinciden os restos? Os primeiros son 1, 2, 3, 6, ...

Védelo? Unha pista?

O seguinte valor no que os restos respectivos son distintos é 61, pois

$$\left[\frac{365}{61} \right]=5 \neq 6=\left[\frac{366}{61}\right] $$

E aínda que non se vexa a razón, a simetría que se percibe nos cálculos anteriores ten que facer pensar nos divisores dun número, que como os donuts, veñen de dous en dous(comentario que deixei de facer hai unha década nas miñas clases). E con isto en mente, será máis evidente que os números nos que os restos difiren son os divisores precisamente de 366, que é $2 \cdot 3 \cdot 61$, i.e. $\lbrace 1,2,3,6, 61,122,183,366 \rbrace$

A razón é a seguinte: para que 

$$\left[\frac{365}{n} \right] \neq \left[\frac{366}{n}\right] $$

 ten que suceder que 

$$m=\frac{365}{n} < m +1 \leq  \frac{366}{n}$$

e como a distancia entre as dúas fraccións é só $\frac{1}{n}$ , para que

$$m +1 \leq  \frac{366}{n}$$

ten que suceder que 

$$m +1 =  \frac{366}{n}$$

i.e., 

$$\frac{366}{n} \in \mathbb{N}$$

e finalmente n ten que ser divisor de 366, como afirmara ao comezo.

Despois destas voltas, xa estamos en condicións de calcular a diferenza entre as sumas. Cada vez que a parte enteira coincide, é dicir, en todos os sumandos agás os correspondentes a 1, 2, 3, 6, 61, 122, 183 e 366, o resto vai ser unha unidade máis, é dicir, a diferenza entre 366 e 365. Pero nos casos enumerados arriba, temos que os restos de dividir 366 entre eles son nulos, pero os de 365 son 0, 1, 2, 5, 60, 121 e 182.

En conclusión, por un lado a suma dos restos ao dividir 366 ten unha vantaxe de 358 uns e a outra suma unha vantaxe de 1+2+5+60+121+182=371, o que implica que a suma dos restos de 365 sobrepasa á outra en 13 unidades.

Ou o que é o mesmo, pero queda máis chulo e esotérico,

$$\sum \limits_{n=1}^{365} \left( 365- n \cdot \left[\frac{365}{n} \right] \right)-\sum \limits_{n=1}^{366} \left( 366- n \cdot\left[ \frac{366}{n}\right]\right)=13$$

Como propina, déixovos esta fermosura que puxeron na proba final da categoría A, 8º/9º anos:

Na sua loja de botões, o Luís tem à venda apenas caixas com a botões azuis, caixas con b botões brancos e caixas com c botões castanhos. O  Luís só vende caixas completas. Sabe-se que:

• se um cliente quiser comprar tantos botões azuis como brancos, tem que comprar pelo menos dois milhares de botões.
• se um cliente quiser comprar tantos botões brancos como castanhos, tem que comprar pelo menos cinquenta centenas de botões.
• se um cliente quiser comprar tantos botões castanhos como azuis, tem que comprar pelo menos mil dezenas de botões 

Quantos botões tem cada caixa? Indica todas as possibilidades.