Un cadrado que xira

Un compañeiro comentoume onte a seguinte situación, que apareceu na oposición de Matemáticas de Galicia do ano 2019:

Un cadrado ABCD de centro O e lado 1 xira un ángulo α arredor de O. Atopa a área común ao cadrado orixinal e ao xirado.

Obviando o ángulo, a situación é esta:

Odio eterno á xente que rotula no sentido das
agullas do reloxo: Disidentes!

Mais non falamos do problema de oposición, senón dunha idea que agroma no transcurso da resolución, que é amosar que os 4 triángulos verdes e os 4 triángulos laranxas que vedes aí son congruentes.

Como é esperable que suceda nunha figura xirada, hai un feixe de relacións métricas, mais teño que recoñecer que algunhas que vía na figura sabía que eran certas pero só as vía como consecuencia da congruencia deses triángulos, non como causa. O que si é evidente é que os 4 triángulos verdes son iguais, e tamén os 4 triángulos laranxas, e tamén que os triángulos verdes son semellantes aos triángulos laranxas, pois son rectángulos e teñen un ángulo máis común de xeito obvio.

   

Pois xirei a cabeza varias veces, pensando na simetría dos triángulos que vedes enriba, pero ao final o primeiro argumento que atopei(entendédeme, estaba de pé e sen poder escribir nada, que andaba ás présas por mor dos alumnos con materias pendentes) foi relativamente enleado, coido. A ver que opinades:

A suma das áreas dos 4 triángulos verdes coincide coa suma das áreas dos 4 triángulos laranxas, pois xunto coa área do octógono azul cada conxunto de 4 triángulos completa un dos dous cadrados(sóavos a algo?). Como os 4 triángulos da mesma cor son obviamente iguais dada a rixidez da rotación, temos que a área dun cadrado verde coincide coa área dun cadrado laranxa. É dicir, temos dous triángulos semellantes coa mesma área, non lles queda máis remedio que seren congruentes.

Non hai algo raro nesta estratexia? Xuraría que é a primeira vez que xorde no meu historial de resolver (mal) miles de problemas.

Polo que non tiven máis remedio que volver sobre o problema na casa, porca miseria.

E argallei o seguinte argumento:

   

Analicemos o triángulo $\triangle{C'PC}$, que ten o lado C'P pertencente a un triángulo verde e o lado CP pertencente a un triángulo laranxa. "Cacemos" os seus ángulos:

$$\angle{PC'C}=\angle{OC'C}-\angle{OC'P}=\angle{OC'C}- \frac{\pi}{4}$$

Analogamente, 

$$\angle{PCC'}=\angle{OCC'}-\angle{OCP}=\angle{OCC'}- \frac{\pi}{4}$$

Pero como resulta que os ángulos $\angle{OC'C}$ e $\angle{OCC'}$ son iguais porque os lados OC' e OC do triángulo $\triangle{OCC'}$ son iguais(os dous miden a metade dunha diagonal, pero o relevante é que un é o outro xirado un ángulo α arredor de O), entón os ángulos $\angle{PC'C}$e $\angle{PCC'}$ tamén son iguais, o triángulo $\triangle{C'PC}$ é isóscele tamén e o triángulo verde e o laranxa teñen un lado correspondente igual, e finalmente son congruentes, q.e.d.

E aínda deu para cavilar máis o problema, como adoita ocorrer con problemas elementais e evidentes nos que usas resultados máis fortes do aparentemente razoable. Fixen unha pescuda pola rede e achei cunha web na que resolven problemas de oposicións, en concreto con esta páxina, na que o autor simplemente argumenta que o triángulo verde é o "exceso" por riba do lado superior ao facer a rotación de ángulo α, e que o triángulo laranxa da esquina superior dereita pode verse como o "exceso" dereito do cadrado A'B'C'D' se o xiramos un ángulo -α, polo que os dous teñen que coincidir. Intúo que non dei con ese razoamento porque os dous triángulos implicados teñen distinta orientación, non están conectados por unha rotación, senón por unha simetía axial.

Conclusión: aínda na xeometría euclidiana elemental, podes atopar algo sinxelo de ver que non é sinxelo de demostrar.