Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Local-2

Aproveito a marea para poñer este título
do libro mencionado máis abaixo

 

Imos co 2º problema desta fase local, o que a priori podería ser o meu favorito. Se lestes este blog con certa frecuencia, veredes a razón:

Da lista dos números naturais riscamos os cadrados perfectos e os cubos perfectos:

Que número ocupará o lugar 2022 na nova lista que nos queda?

Tiven que facer a lista en Writer e convertelo nunha imaxe porque para riscar caracteres en LATEX hai que importar un paquete.

Cando lin o problema pensei para min, isto resólvoo eu en 10 segundos, HA!

Porque obviamente, a dificultade radica en decatarse de que riscamos dúas veces as potencias sextas. Co cal, como $45^2=2025$ , $13^3=2197$, e $4^6=4096$ son as primeiras potencias de cada tipo que sobrepasan 2022, temos 44 cadrados, 12 cubos, e 3 potencias sextas, polo que teremos que o número 2022 ocupará a posición $2022-44-12+3=1969$. Que sinxelo, non?

Para o meu descargo, direi que fixen isto mentres atendía aos cativos e ademais, de memoria. Pero está ben o erro, porque é previsible que moitos participantes se trabuquen deste xeito.

Porque mirei o enunciado outra vez e vin que non preguntaba pola posición do número 2022, senón polo número que ocupaba a posición 2022. Vaia.

Por sorte, cometido este erro, o que queda é automático: se o 2022 ocupa o lugar 1969, só hai que ver cantos números hai que contar para chegar a 2022 desde 1969. Como van 53 números entre eles, e 2045 está demasiado preto de 2022, haberá que contar 54, é dicir, chegar a $2022+53+1=2076$

Como dicía ao comezo, este é probablemente o meu problema favorito desta fase(tamén me prestou o cuarto, permanecede atentos aos vosos aparatos), de feito aínda hai poucas entradas que escribín Números que non son múltiplos de 3, no que propoñía atopar o termo xeral para a sucesión dos números que non son múltiplos de 3, reto baseado no de atopar a sucesión dos non cadrados perfectos, que propoñía Honsberger no seu Ingenuity in Mathematics. Honsberger dá nese libro dúas solucións para o reto:

$$n+\langle \sqrt{n} \rangle$$

onde utiliza a notación $\langle m \rangle$ para o enteiro máis preto de m, e despois utilizando outro enfoque, obtén 

$$n+\left[ \sqrt{n+\left[\sqrt{n}\right]} \right]$$ 

o que leva a deducir de paso a fermosa identidade

$$\langle \sqrt{n} \rangle=\left[ \sqrt{n+\left[\sqrt{n}\right]} \right]$$

A primeira solución que atopei eu ao meu reto menor para os non múltiplos de 3 foi:

$$\left[ \frac{3n}{2}\right]-\frac{1+(-1)^n}{2}$$

mais tamén saíron outras relacionadas, como por exemplo:

$$\frac{6n-3+(-1)^n}{4}$$

ata un compañeiro, en comunicación privada, compartiu comigo a súa fermosa e aparentemente rebuscada solución:

 $$n+\frac{n-1}{2}sen^2 \left(\frac{n \pi}{2} \right)+\frac{n-2}{2}cos^2 \left(\frac{n \pi}{2} \right)$$

da que, se analizades un anaco e simplificades, obteredes a miña segunda expresión. Quen o diría!

Todo este inciso quere amosar que un problema como o que nos ocupa hoxe non ten unha solución xeral sinxela. Observando a fórmula para os non cadrados, imaxinade a complicación dunha fórmula para os "nin cadrados nin cubos". Se tivésemos esa fórmula, digamos $a_n$, teríamos que calcular simplemente $a_{2022}$. Curiosamente, este enfoque xeral para o erro que cometín eu sería máis complicado, pois habería que resolver a ecuación $a_n=2022$.

Con respecto ao desempeño dos participantes, vaticino menos solucións completas aínda que no problema 1. Eu véxoo máis propio dunha fase final que dunha local, e por outra banda, nunca colocaría estes dous problemas nesta orde, seguramente comezaría polo problema 3, que veredes mañá. Tradicionalmente os problemas das olimpíadas manteñen certa orde crecente de dificultade, moitos participantes comezan polo primeiro, e se é moi difícil, a sensación de desánimo pode repercutir en toda a proba.

Claro que é sinxelo criticar estas cuestións cando un non ten a responsabilidade de elaborar a proba. Se fose eu o responsable, é probable que cometese máis erros. Por sorte non habería moitos blogues en galego para poñerme a pingar. E os que hai, son de colegas.