Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-2

Traio o problema 2 da fase final da olimpíada para que pensedes mentres padecedes o sol:

O centurión Vinicius Fabius decidiu repartir entre os seus mellores lexionarios certo número de moedas de ouro, todas elas do mesmo valor, da seguinte forma:

• Ao mellor lexionario tócalle unha moeda e un sétimo das que sobran.
• Ao segundo mellor lexionario outórgalle dúas moedas e un sétimo das que sobran.
• Ao terceiro mellor tócanlle tres moedas e un sétimo das que sobran.
• E así sucesivamente até chegar ao último dos elixidos.

Se todos os lexionarios recibiron o mesmo número de moedas, cantos lexionarios premiou o centurión? canto recibiu cada un?

Sóavos o problema? Non lembra superficialmente ao clásico das rapazas que sucesivamente bailan cun rapaz máis, mesturado co problema do reparto do tesouro entre piratas, os monos e os cocos ou algo así?

Pois se vos soa, sabede que é comprensible, pois este problema ten séculos, está recollido no Liber Abaci de Fibonacci(1202). Se non tivese explicitamente a condición de que todos os lexionarios levaron o mesmo número de moedas, a versión é anterior e apareceu no Lilavati de Bhaskara(s.XII), e aínda é atribuído a Brahmagupta, cinco séculos antes. A inclusión da condición fai o problema susceptible de resolver mediante álxebra elemental; se non a incluísen, o razoamento sería máis sofisticado.

Imaxino aos cativos pelexando co problema como se fose unha actividade de clase habitual: se  fago un debuxo para indicar os sétimos, o que queda... Quizais recorrendo á álxebra, o 1º lexionario levaría $1+ \frac{x-1}{7}=\frac{x+6}{7}$, seguindo co que levaría o 2º, quizais poñéndose co 3º... Ata decatarse de que poñerlle letras ao nº de moedas dos dous primeiros lexionarios xa serve para comezar a xogar, pola condición de que todos levan as mesmas. Tamén podo imaxinar que a intuición lles dixese que tiñan que ser 6 lexionarios, que traballasen sobre ese dato, pero non poder xustificar a súa intuición a priori(resolvendo o problema, un pode ver que eses sétimos que aparecen no transcurso tamén son sextos doutras cantidades do problema).

E que sucedería se tentasen traballar "para atrás", como no típico problema dos 3 amigos que se van repartindo moedas en función das que teñen en cada momento?

O último lexionario levaría tantas moedas como o seu número, máis 0, que é un sétimo de 0(sempre me presta dicir este tipo de cousas en voz alta), polo que o anterior lexionario, o (n-1)-ésimo, levou unha menos que o último, máis un sétimo das que quedaban, deixando xusto n para o último, e utilizar aquí a igualdade de moedas. E aínda hai máis razoamentos rápidos que funcionan aínda que non sexamos rigorosos, por exemplo respecto ao número máximo de lexionarios en función dos restos distintos módulo o denominador da fracción, aínda que sen usar toda esa barallada.

Como conclusión: paréceme un bo problema e axeitado para esta fase, no que se pode fedellar e usar a intuición. Os meus parabéns pola escolla.