Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

27.5.22

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final

 

Este xoves 26 tivo lugar a fase final da olimpíada galega de 2º de ESO no Círculo das Artes de Lugo. Testemuñas que asistiron comentan que a xornada foi unha experiencia estupenda para participantes e acompañantes, cousa que non me sorprende, pois iso mesmo vivín eu hai 7 anos cun alumno do IES Punta Candieira. Nunca poderemos agradecer abondo ao comité organizador de AGAPEMA o traballo desinteresado que fan.

Como fixen este ano cos problemas da fase local, vou dedicar unhas entradas aos problemas desta fase. Velaquí o primeiro:

Unha terna pitagórica está formada por tres números naturais, a, b e c, que verifican o teorema de Pitágoras, é dicir, a2+b2=c2 . Podemos velos como os lados dun triángulo rectángulo no que a e b son os catetos e c a hipotenusa. Sendo así, dicimos que o ano 2022 é hipotenuso, xa que podemos felicitalo a partir de dous catetos dun triángulo rectángulo no que 2022 é a hipotenusa: 10502+17282=20222

  1. Demostra que se a, b, c forman unha terna pitagórica, entón na, nb, nc tamén, para n un número natural calquera
  2. Encontra 3 ternas pitagóricas diferentes
  3. Comproba que 2025 será un ano hipotenuso.
  4. Descobre se teremos outro ano hipotenuso antes de 2025.
A estas alturas xa saberedes que a teoría de números elemental é a miña parte preferida das Matemáticas, aínda así, sorprendeume ver esta proposta como 1º problema do concurso. Para empezar, o apartado a é moi técnico para o usual neste nivel de olimpíada. Para quen domine o uso de variables é puro textbook work: (na)2+(nb)2=n2a2+n2b2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2, dándose a penúltima igualdade porque (a,b,c) é unha terna pitagórica. Para que non o domine, probablemente a verbalización do problema sexa un obstáculo insalvable.

No b) é posible que haxa alumnos que teñan na memoria xa exemplos de ternas pitagóricas, pois a estas alturas de curso de 2º de ESO en moitos centros xa pasaron polo bloque de Xeometría, sen dúbida. Como curiosidade, poderían atopar as ternas a partir do exemplo, ademais da resposta esperada, i.e., multiplicando os termos 1050, 1728, 2022 polo natural que lles pete, dividindo polos 3 factores comúns que teñen os elementos da terna:
{1050=235271728=26332022=23337
(525,864,1011),(350,576,674),(175,288,337)

Para o c) lembrade que os cativos dispoñen de calculadora, ademais da pura busca por forza bruta, cabe a posibilidade de fedellar un chisco nos números:
Como 2025=2581 entón 2025=(32+42)92=3292+4292=272+362. Outra opción sería coller 2025=5405=(12+22)(182+92), e aquí seguir do xeito que explico na entrada Matrices e Pitágoras?

Finalmente, para o d) o mellor é razoar sobre o aspecto dos cadrados perfectos, para un iniciado nas congruencias é case imposible non utilizalas. Daríase o caso de que algún alumno incluíse o 0 nos naturais, facendo que todos os números sexan hipotenusos?

0 comentarios:

Publicar un comentario