Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final

 

Este xoves 26 tivo lugar a fase final da olimpíada galega de 2º de ESO no Círculo das Artes de Lugo. Testemuñas que asistiron comentan que a xornada foi unha experiencia estupenda para participantes e acompañantes, cousa que non me sorprende, pois iso mesmo vivín eu hai 7 anos cun alumno do IES Punta Candieira. Nunca poderemos agradecer abondo ao comité organizador de AGAPEMA o traballo desinteresado que fan.

Como fixen este ano cos problemas da fase local, vou dedicar unhas entradas aos problemas desta fase. Velaquí o primeiro:

Unha terna pitagórica está formada por tres números naturais, a, b e c, que verifican o teorema de Pitágoras, é dicir, $a^2+b^2=c^2$ . Podemos velos como os lados dun triángulo rectángulo no que a e b son os catetos e c a hipotenusa. Sendo así, dicimos que o ano 2022 é hipotenuso, xa que podemos felicitalo a partir de dous catetos dun triángulo rectángulo no que 2022 é a hipotenusa: $1050^2+1728^2=2022^2$

1. Demostra que se a, b, c forman unha terna pitagórica, entón na, nb, nc tamén, para n un número natural calquera
2. Encontra 3 ternas pitagóricas diferentes
3. Comproba que 2025 será un ano hipotenuso.
4. Descobre se teremos outro ano hipotenuso antes de 2025.

A estas alturas xa saberedes que a teoría de números elemental é a miña parte preferida das Matemáticas, aínda así, sorprendeume ver esta proposta como 1º problema do concurso. Para empezar, o apartado a é moi técnico para o usual neste nivel de olimpíada. Para quen domine o uso de variables é puro textbook work: $(na)^2+(nb)^2=n^2a^2+n^2b^2=n^2(a^2+b^2)=n^2c^2=(nc)^2$, dándose a penúltima igualdade porque (a,b,c) é unha terna pitagórica. Para que non o domine, probablemente a verbalización do problema sexa un obstáculo insalvable.

No b) é posible que haxa alumnos que teñan na memoria xa exemplos de ternas pitagóricas, pois a estas alturas de curso de 2º de ESO en moitos centros xa pasaron polo bloque de Xeometría, sen dúbida. Como curiosidade, poderían atopar as ternas a partir do exemplo, ademais da resposta esperada, i.e., multiplicando os termos 1050, 1728, 2022 polo natural que lles pete, dividindo polos 3 factores comúns que teñen os elementos da terna:

$\begin{cases} 1050=2 \cdot 3 \cdot  5^2 \cdot 7 \\ 1728=2^6 \cdot 3^3 \\ 2022=2 \cdot 3 \cdot 337 \end{cases}$

$(525,864,1011),(350,576,674),(175,288,337)$

Para o c) lembrade que os cativos dispoñen de calculadora, ademais da pura busca por forza bruta, cabe a posibilidade de fedellar un chisco nos números:

Como $2025=25 \cdot 81$ entón $2025=(3^2+4^2) \cdot 9^2=3^2\cdot 9^2+4^2 \cdot 9^2=27^2+36^2$. Outra opción sería coller $2025=5 \cdot 405=(1^2+2^2)(18^2+9^2)$, e aquí seguir do xeito que explico na entrada Matrices e Pitágoras?

Finalmente, para o d) o mellor é razoar sobre o aspecto dos cadrados perfectos, para un iniciado nas congruencias é case imposible non utilizalas. Daríase o caso de que algún alumno incluíse o 0 nos naturais, facendo que todos os números sexan hipotenusos?