Coa escusa do 15

 

   

Noutro século, cando estudaba a carreira, na especialidade de Matemáticas Puras unha das materias vinculadas á especialidade en 4º era Teoría de Grupos e Representacións(a outra era Introdución aos Sistemas Diferenciais e Grupos de Lie). Usando exclusivamente a memoria, na materia había un estudo de cuestións de resolubilidade, o Th. de Burnside, enumeración de subgrupos cumprindo certas condicións, Teoremas de Sylow, e unha parte de representacións, incluíndo algo que daquela non sabía aínda clasificar, pero que agora chamaría combinatoria( as táboas de Young). A materia para os que tiñamos certa tendencia ao abstracto(o abstract nonsense, que dixo John F. Nash, aínda que agora non atopo referencia) era entretida, e non pedían cousas moi difíciles nos exames.

Lembro que un dos poucos exemplos tirados da Matemática Recreativa que vin en toda a carreira apareceu nesta materia. Como ilustración das órbitas no contexto das permutacións, falouse do 15 Puzzle e tamén someramente do Cubo de Rubik. E, de novo, lembro a idea esencial  na imposibilidade do puzzle proposto por sam Loyd: a paridade das permutacións, $S_n$, determina só dúas órbitas, a das permutacións pares, $A_n$, que forma un subgrupo, e a das impares. E o subgrupo das permutacións pares ten como sistema xerador os 3-ciclos. E aí remata o que lembro, ata o punto de que dubido de se vimos a demostración completa e esquecín todo agás o anterior, ou simplemente non o demostramos, e quedou a súa finalización para o alumno(vós xa me entendedes).

Pois ben, como este ano tiven que deixar de dar Matemáticas I e dar Matemáticas II, volvín ocupar a mente co concepto de dependencia lineal, que en 1º de BAC non é tan esencial. E dado o pouco que lembraba do 15 Puzzle, pensei en se o determinante, que está relacionado coas permutacións, distinguiría as posicións factibles das imposibles no puzzle. E, claro, non o fai, poñamos por exemplo a posición que propoñía Sam Loyd como premisa e a posición obxectivo:

$$\begin{vmatrix} 1 &2&3&4 \\ 5 &6&7&8 \\ 9 &10&11&12 \\ 13 &15&14&b    \end{vmatrix} \ \ \ \begin{vmatrix} 1 &2&3&4 \\ 5 &6&7&8 \\ 9 &10&11&12 \\ 13 &14&15&b    \end{vmatrix} $$

Nos determinantes anteriores b indica a cela que está baleira.

Que sucede con eses determinantes? Pois que os dous son nulos, a posición do 14 e o 15 é irrelevante. E aínda que poderíamos buscar un xeito de evitar ese obstáculo, pareceume máis interesante outra cuestión.

Por que son nulos os dous determinantes? Observade simplemente as 3 primeiras ringleiras. Resulta que a 3ª ringleira depende linealmente das dúas primeiras dun xeito obvio abondo:

$9=2\cdot 5 - 1, 10=2\cdot 6 - 2, 11=2\cdot 7 - 3, 12=2\cdot 8 - 4,$

Que, ademais, é certo para calquera disposición dos primeiros 3n naturais en 3 ringleiras

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots  n \\  n+1 & n+2 & n+3 & \dots  2n \\ 2n+1 & 2n+2 & 2n+3 & \dots 3n \end{matrix}$$

Cal é a cuestión que me pareceu máis interesante, e que confeso que aínda non tiven tempo para resolver? Por unha vez, unha cuestión de enumeración:

Se collemos os números do 1 ao 16, cantas das 16! matrices 4x4 que podemos formar con eses números teñen determinante nulo?

Se preferides números máis pequenos, podedes contestar a mesma pregunta para o caso do 1 ao 9.