(Aínda máis) Problemas de Álxebra sen ecuacións

 A estas alturas xa saberedes que unha das miñas teimas é darlle máis amplitude de miras á álxebra elemental, alén do cálculo formal e da resolución de ecuacións. Se aínda non as lestes, hai dúas entradas previas, Problemas de Álxebra sen ecuacións e Máis problemas de Álxebra sen ecuacións, que incluén tres problemas ben fermosos que plasman perfectamente a idea da miña teima: as variables teñen utilidade aínda que non haxa condicións de igualdade entre expresións(e moito antes de que introduzamos o concepto de función).

Lamentablemente, non é sinxelo atopar problemas de Álxebra sen ecuacións que sexan axeitados para traballar nas aulas. Ás veces porque non son problemas xenuinamente, ás veces porque necesitan coñecementos previos que o alumnado aínda non ten. Por isto adoito aceptar problemas que rematen cunha ecuación, sempre que o interesante(i.e., o difícil) veña antes, na parte relacional. Un deses exemplos, non tan fermoso, e ben coñecido nas aulas, sería o do mago, que compartín na entrada Traballos de Álxebra:

Un mago afirma que pode adiviñar calquera número que penses, só tes que dicirlle o resultado final das seguintes operacións:

• Pensa un número.
• Súmalle 2.
• Multiplícao por 3.
• Réstalle 7.
• Réstalle o número pensado ao comezo.
• Multiplícao por 2.
• Súmalle 2.

Que número pensaras se o resultado final é 68?

Apostaría que este tipo de exercicio é común en libros de texto, aínda que non lembro ningunha referencia concreta.

Outro problema que xa apareceu neste blog e que é susceptible de ser atacado con Álxebra é esta fermosura:

Unha caixa contén mazás e peras. Sabemos que hai o mesmo número de mazás podres que de peras podres. Tamén sabemos que $\frac{2}{3}$ de todas as mazás están podres, e que $\frac{3}{4}$ de todas as peras están podres. Que fracción do total de froitas da caixa está podre?

Nun receso entre facer fichas e facer máis fichas, remexín un anaco polo disco duro e atopei un libro de preparación para a Olimpíada de Singapur no que inclúen algúns exercicios deste estilo. Como disclaimer, no prólogo do libro indican que é axeitado para alumnos de 5º ou 6º de Primaria. Facede o que vexades con esa información. Traduzo e modifico algún problema:

Nun exame de Matemáticas, a media de 10 alumnos é a. A media dos 8 alumnos con mellores notas é b. O alumno coa 9ª mellor nota sacou c máis que o 10º. Atopa a peor nota da clase.

O seguinte si inclúe igualdades, pero me prestou tanto o feixe de variables que o traio igual:

Un coche e un camión saen respectivamente das cidades A e B, en sentidos contrarios. O coche chega á cidade B en x horas e o camión chega á cidade A en y horas. Se o coche circula z km/h máis rápido que o camión, calcula canto tempo tardadon en cruzarse.

Aproveito para traer un problema clásico de Lewis Carroll, que o incluíu nos seus Pillow Problems (probade a tentar un deses problemas de memoria xusto antes de durmir, probade...):

Se $\epsilon, \alpha, \lambda$ representan fraccións exactas, e nun certo hospital $\epsilon$ dos pacientes perdeu un ollo, $\alpha$ perdeu un brazo e $\lambda$ unha perna, cal é o número mínimo posible de pacientes que perderon as 3 cousas?

E remato esta xeira cun problema fóra de concurso pero que, se resolvedes, entenderedes a razón de incluílo:

Regatando cun tendeiro, a túa primeira oferta é a €, a súa é b €. Incrementas a túa 1ª oferta certa porcentaxe, o vendedor baixa a súa 1ª oferta a mesma porcentaxe... e chegades ao mesmo prezo!

Cal é este prezo, en función de a e b?