Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 5

Rematamos os problemas deste ano da olimpíada matemática galega cun de combinatoria enumerativa:

Se cambiamos as letras da palabra BARCO de todas as formas posibles podemos formar moitas palabras, con ou sen sentido. Ordenándoas alfabeticamente, en que posto aparece a temida COBRA?

Cambiei de opinión: probablemente esta fose a cuestión máis sinxela da olimpíada. Para o tipo de alumnado que chega a estes niveis, a dificultade que presenta non vai ser tal. E se algún tivo clases de combinatoria en ESTALMAT, xa non digamos.

O problema ten un aquel ao que se facía en 1º de BUP hai moitos anos, cando había que indicar a orde dun número concreto creado con certas cifras dadas, problema que adoitaba rematar pedindo a suma de todos os números dese xeito, etc. 

Neste caso, para nós é evidente que hai 5!=120 palabras con esas letras, 4!=24 comezando por cada letra, co cal hai que ir ás que comezan por C e ver cantas comezan por O, ...

Se me preguntades a min, sempre me parece ben poñer algún razoamento enumerativo deste tipo. Curioso que fose o último, non sei se influiría no desempeño isto, que os cativos normalmente van por orde.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 4

 

Recapitulemos o que vai desta olimpíada ata agora: o 1º problema, aritmético(factores), o 2º, xeométrico(circunferencias), o 3º, xeométrico-aritmético(rectángulos e razóns). 

De que irá o 4º?

Pois si, de xeometría:

Lucas e Ana dividiron un cadrado de lado 60 cm en cinco partes de igual área como o que che mostramos. Cantos centímetros mide o segmento AB?

   

Aínda que é sinxelo, na miña opinión tamén é fermoso: non é inmediato, e hai que ter claro que é o esencial na área dun triángulo máis que a fórmula crúa.

Sen ter nin idea, teño a impresión de que puido ser o problema con máis solucións correctas. Hei preguntar.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 3

Chegamos ao 3º problema desta fase final, este xeométrico, pero tamén aritmético. Velaquí: 

Temos 1000 pezas para construir un crebacabezas rectangular como o da figura co logotipo das Olimpíadas Matemáticas. Queremos que se axuste o máximo posible á proporción DIN, a que seguen os folios, cuxa razón entre alto e ancho é a raíz cadrada de 2. O fabricante só nos deixa quitar ou engadir un máximo de 3 pezas. Cantas pezas terá de alto e de ancho o crebacabezas que mellor se axusta á norma DIN?

Este non o tentei emular, fixen cap 

Confeso que me encantan os problemas nos que se relaciona a forma co número, que por moitas matemáticas que saiba, non deixa de supoñer un arcano(tanto ten que falemos de semellanza que do xénero dunha superficie). Non hai moito propuxen este problema nº 2 nunha ficha en 1º de ESO, que facía referencia á foto da dereita:

Daquela saíu o tema de que o número de pezas que indican os puzzles non sempre é exacto, asunto ao que dedicou un vídeo Matt Parker:

E á cuestión inmediata, cando é un rectángulo o máis cadrado posible? E cuestións máis avanzadas, como as que enumeraba na entrada Preguntas sinxelas en Xeometría.

Vedes a relación co problema da Olimpíada? Como determinar que o rectángulo escollido está máis preto do estándar DIN? Será inmediato para os cativos que é máis útil elevar ao cadrado a razón entre ancho e alto e ver o preto que está de 2?

Un bo problema para esta fase, se teño que resumir.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 2

 

Imos co 2º problema da fase final deste ano, este xeométrico:

No próximo Arde Lucus haberá un circo romano no que se realizarán espectáculos e loitas de gladiadores. A forma do circo será un tanto inhabitual, trátase, como se amosa na figura, de dous círculos superpostos de radio 136,64 metros:

a) Cal será o perímetro do circo?

b) Que porcentaxe da área do círculo da esquerda se solapa coa do círculo da dereita?

Cantos logotipos se basearán nesta figura?

O problema é tradicional, ao punto de que é habitual velo de vez en cando en libros e na rede, pero como os cativos que van á OMG non están sobreadestrados(ou iso quero crer), seguramente non o coñecesen, e tivesen que partir de cero para resolvelo.

Quizais só teña unha péga que poñerlle: non son redundantes os dous apartados? Unha vez resolves o a), vendo o ángulo, que resta para responder o b)?

Como curiosidade, os meus alumnos de 2º de ESO probablemente non saberían facelo. A estas alturas non traballamos áreas aínda.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final

 

Crédito a DiegoAS

Onte celebrouse a fase final da Olimpíada Galega en Lugo, como é tradición xa. Este ano pasou a fase local un alumno meu de 2º de ESO, cousa que non sucedía desde que daba clase en Cedeira, hai dez anos. Unha das cousas que resultan evidentes dando clase na ESO é que hai alumnos cun talento natural para a resolución de problemas e para traballar con abstraccións. Esta afirmación, coa que aposto que estaría de acordo a maioría de compañeiros de Matemáticas, hoxe en día é algo démodé, quizais polas "evidencias" que propoñen os defensores do growth mindsetgrowth mindset. E poño "evidencias" porque lembremos que os seus defensores chegaron, de xeito como mínimo alegre, a dicir que cando un comete erros fai crecer o seu cerebro, aínda que non sexa consciente de que está a cometer erros. E cales son as evidencias? Pois basicamente o resultado de facer fMRI. Nestas andamos no século XXI.

Sirva todo o anterior como circunloquio para introducir que o meu alumno é un caso claro de talento para as matemáticas, e que nun caso así ao que hai que aspirar é a non limitar a súa capacidade de aprendizaxe. 

Como teño amigos no staff, xa puiden ver onte pola tarde os problemas que caeron. E haberá que seguir a tradición tamén de compartilos por acó.

O primeiro pareceume bonito e bastante difícil para ser o primeiro. Xulgade vós:

Obtén todas as parellas x,y de números naturais tales que $$x^2 \cdot y^3 = 6^{12}$$

Poñédevos no lugar dun cativo de 2º de ESO, que non ve instantaneamente, coma nós, que é esencial descompoñer o 6, nin sabe probablemente que os cadrados perfectos se caracterizan porque os expoñentes dos factores primos que teñen sempre son pares, e analogamente, os cubos porque os expoñentes son múltiplos de tres. Nese caso o problema resulta formidable, e aínda salvando eses obstáculos, aínda hai que ter unha boa dose de meticulosidade para enumerar todos os pares.

O dito: fermoso, pero difícil.