Aproveitando un problema estándar

 

Creo que xa comentei que este ano dou dúas aulas de 1º de ESO, que por tanto segue a ser o curso que máis veces dei nos case vinte anos que levo no choio(isto lembra a un problema clásico de TIMSS, a ver se o atopo¹). E aínda que a LOMLOE viña coa pretensión de reducir o número de contidos, o certo é que aínda temos máis cousas que dar, ao incluír o pensamento computacional no sentido alxébrico. Cousa que, non é por botar flores, xa vaticinara eu hai tres anos:

, na práctica, leve a ENGADIR CONTIDOS. E a proposta que acabo de ler que conecta as Matemáticas e a Informática, https://t.co/FhY372Pfu1, é un caso claro. Case todo soa ben(hai moito que roer no que din sobre modelización) pero, alguén cre que a Administración adoptaría unha 2/5

— J.J. Rodríguez (@jjcanido) June 10, 2020

Isto, sumado a outros factores, leva a que en maio estea aínda no sentido alxébrico, botando contas de cantas cousas importantes non van ver. E iso que, sendo rigoroso, non estou a cumprir co espírito da avaliación LOMLOE, porque como xa expliquei en varias ocasións, é unha trangallada que non permite determinar o que sabe facer un alumno.

E hoxe tocou resolver problemas co método alxébrico, para o que usei o libro de texto que tiven que escoller eu, cando a miña opción era non ter libro de texto. Cousas da vida. 

O anódino problema do libro dicía algo así como:

Atopa dous números cuxa suma é 241 e cuxa diferenza é 27.

Expliqueilles eu como resolvelo de varios xeitos. Os dous evidentes a este nivel:

• Utilizando a diferenza para determinar as incógnitas, a e a+27, e logo usando a condición sobre a suma para establecer a ecuación
• Utilizando a suma para determinar as incógnitas, b e  245-b, e logo usando a condición sobre a diferenza para establecer a ecuación.

Como todos saberedes, o segundo xeito é máis complicado, pola tendencia a crer que a condición "Suman 241" se traduce como b e b-241.

Mirando para as solucións, pregunteilles se querían saber algo máis deste problema, varios querían, así que avisei de que en 2º ían ver sistemas de ecuacións que ían resolver automaticamente estes problemas, pero que se podía facer doutro xeito. E o que fixen foi chantar unha táboa no encerado:

 

1º número	2º número	Suma	Diferenza
134	107	241	27
		10	4
		43	13
		26	26
		16	6

E pedín que completasen eles as outras. E para moitos non foi, nin de lonxe, inmediato. Agás un cativo, que resolvera o problema orixinal sen álxebra, que o fixo rapidísimo.

1º número	2º número	Suma	Diferenza
134	107	241	27
7	3	10	4
28	15	43	13
26	0	26	26
11	5	16	6

En realidade había máis ringleiras, pero con estas xa facedes unha idea. 

E pedín que mirasen para cada ringleira, a ver se vían algo. E despois de respostas como "Si restas el 1º y el 2º, te da la diferencia" (a resposta é ben parva, pero deixa claro o nivel de implicación na actividade que tiñan algúns), tardou en decatarse unha rapaza do que estaba pasando, explicou o asunto dun xeito críptico, pero a idea estaba aí: o 1º número é a semisuma da suma e a diferenza (a media da suma e a diferenza), o 2º número é a semidiferenza da suma e a diferenza. E todo o mundo entendeu o xeito de calcular os dos números, pero non entendeu por que funcionaba. Polo que tiven que facer o seguinte:

 

                Figura non feita a escala, bla, bla, bla...

Como só estaba a usar xiz branco, non se viu a mestura de cores. Pero iso non foi o problema, o problema foi que moitos seguían sen ver por que funcionaba o que vira aquel alumno ao principio e a alumna agora.

Preguntei explicitamente como poderíamos ver con estas barras que o 1º número coincidía con esa semisuma e o 1º con esa semidiferenza, e custou, vaia se custou... E observade que coa colocación da parte amarela e a verde, que son iguais, o da semidiferenza é case obvio, non si?

Pois houbo que facer algo semellante a isto:

    

Agora si?

E tamén algo como isto:

   

Onde collín o cacho azul de abaixo da 1ª figura e leveino a continuación da parte de arriba, co cal temos dúas veces seguidas o 1º número. 

Este segmento de clase levou ben vinte minutos, perfectamente. E tampouco teño claro que conseguise gran cousa co alumnado, pero tiven que improvisalo, sentín a obriga. En realidade estou convencido de que este tipo de actividades son máis propias de Primaria que de Secundaria, onde chegan moitos alumnos con escasa familiaridade cos números e con aínda menor capacidade para relacionar números e figuras. Deixádeme pontificar por unha vez: non insistiría moito nas divisións longas e nas multiplicacións en caixa e si máis en actividades variadas. Deixo de pontificar e aclaro: amigos mestres, xa sei que os alumnos que teñen dificultades coa reprodución de algoritmos aínda ían ter(ou teñen xa) máis dificultades coas actividades desta índole. E igual insistir nisto é unha perda total de tempo con ese alumnado, só serviría para sentirnos ben nós.

---

1 Ah, atopei o ítem de TIMSS, é este do grao 8 de 1995:

P5. Tres quintos dos estudantes dunha clase son rapazas. Se 5 rapazas e 5 rapaces son engadidos á clase, cal das seguintes afirmacións é certa?

1. Hai máis rapazas que rapaces
2. Hai o mesmo número de rapazas que de rapaces
3. Hai máis rapaces que rapazas
4. Non podes afirmar se hai máis rapazas ou rapaces coa información proporcionada.

Se estades interesados, podedes atopar aquí os ítems daquel ano, o que comparto está na páxina 92 coa súa numeración(101 do pdf)

^↩

Outro xeito (máis) de ver o mcd e o mcm

 En cousas bonitas de ver pero que non teñen utilidade para a aula poderíamos meter moitas visualizacións que os profesores poñemos para engaiolar, con alta probabilidade, a outros profesores. En contra do que se adoita ler, a miña impresión é que a hipertrofia de conexións entre distintos conceptos das Matemáticas non adoita calar no alumnado con máis dificultades, que ten tendencia a querer ver as cousas dun único xeito. O debate interesante está en se esa tendencia pode ser invertida ou non; curiosamente nunca vin estudos onde analicen as consecuencias de enfocar o traballo de xeito exclusiva ou maioritariamente relacional con alumnado desas características. 

En calquera caso, había tempo que non estaba un chisco orgulloso de algo que lograra argallar eu só, polo que esta entrada era obrigada. Restrinxín os valores dos naturais m e n ata 16 para que caiba o applet no corpo do blog, podedes facer zoom e recolocar rótulos, coma sempre.

Confeso que aínda que pode que amose este applet algún día na aula, non creo que os alumnos vaian sacar moito proveito.

E case esquezo que a idea dos cadrados unitarios en diagonais non se me ocorreu a min, vina neste debate de Mathematics Educators, onde é habitual atopar debates interesantes:

Geometrical interpretation of the identity lcm(a,b)gcf(a,b)=ab

Unha adiviña de visualización

Podedes dicir que esta entrada non é exactamente matemática, pero vaia, se vedes as entradas dos dous/tres primeiros anos do blog(exemplo 1, exemplo 2) tampouco é que isto fose Gaussianos.

Porén, isto é tan fermoso que non podía reprimirme.

Veña, sen máis dilación, que é isto?

Que blogger poña embaixo das fotos "Engadir lenda" neste caso cobra máis sentido

    

    

    

     

Pero esta adiviña tamén ten un aspecto matemático, relevante para a docencia en secundaria:

Unha vez que xa saibades de que vai o conto, hai algunha outra visualización axeitada para representar os datos? Que parámetros estatísticos contarían a historia tras estas gráficas?

Se acertades a adiviña e estades interesados, xa porei a fonte das gráficas.