O (maldito) cubo de Rubik

Un dos temas que, a ollos do gran público, estás obrigado a dominar se estudaches Matemáticas é o do cubo de Rubik. Non é o único: outros temas obrigados son a papiroflexia, o xadrez e, máis recentemente, o sudoku. Confeso aquí que ningún destes xogos me interesou seriamente nunca. Para ser totalmente honesto e preciso, ningún me interesou como xogo (quizais imperceptiblemente máis o sudoku), o que non implica necesariamente que non me interesasen desde un punto de vista matemático, aínda que tampouco ao mesmo nivel que áreas "serias" como a Teoría de Números ou a Xeometría Alxébrica.

Polo miúdo: non teño ningún tipo de interese en dobrar papel para facer figuras máis ou menos fermosas, aínda que podo aturar un vídeo de alguén facéndoo (seguramente mellor en time lapse), e desde logo interésanme solución enxeñosas para duplicar o cubo como esta; non me gusta xogar ao xadrez, e só atendo a feitos combinatorios do xogo como os que apuntan na web de Wolfram; respecto ao sudoku, (que, repito, é o único que me interesa un pouco como xogo, pero moito menos que o multiplicativo Kenken ou o aditivo Kakuro) leo o que vou atopando sobre a resolubilidade de sudokus e exemplos dos máis complicados.

E respecto ao cubo de Rubik, que foi un xoguete moi vendido na miña infancia (anos de Hula Hoop, Telesketch, Trivial Pursuit, Exin Basket e máis tarde de NES e GameBoy, snif...), pois algo semellante: nunca me interesou seriamente, ata que vin a perspectiva matemática nunha asignatura da carreira, Teoría de Grupos (que acabo de descubrir que deixou de existir no plano de estudos do grao de Matemáticas). En realidade naquela materia estudamos unha relación coa teoría de grupos do cubo de xeito máis ben superficial, o exemplo que se traballaba máis fondamente era o do 15 puzzle de Sam Loyd. Para quen estea interesado, Cut the Knot ten un artigo moi claro e sucinto sobre a paridade e o puzzle: Group Theory for Sam Loyd's Fifteen Puzzle.

Pero aínda para mangantes coma min hai un xeito de quedar ben, polo menos en canto ao choio de resolvermos un Cubo de Rubik (para o xadrez e o origami aínda non hai atallo). Temos que darlle as grazas a Matt Parker, quen gravou este vídeo no que amosa como simular que sabemos resolvelo:

No vídeo observamos varias ideas matemáticas relativamente sinxelas, mais ben potentes, en concreto:

• Se repites o número suficiente de veces un mesmo movemento no cubo, acabarás chegando á posición de partida.
• Alternando dous movementos no cubo, o número de veces que terás que executar a secuencia alternada de movementos para volver ao inicio non está relacionado directamente co número de veces que terías que facer cada movemento por separado para volver ao inicio. Se atendestes ao vídeo saberedes por que aparece o mínimo común múltiplo.

Por se fose pouco, nas ligazóns do vídeo anterior en youtube atopamos outro vídeo que nos dá unhas ideas sobre a relación coa teoría de grupos: FameLab Entry-Rubik's Cube.

Agora xa non hai escusa para quedar ben cun cubo de Rubik casualmente localizado pola casa...

Estou tan sumido na verza que non me decatara de que este blogue xa leva 4 ANOS NA REDE! Bo momento para berrar, non si?

Mind the steps

Mentres sigo enleado nos planos de estudo das leis educativas españolas tamén estou a limpar e ordenar o arquivo dixital que fun acumulando este primeiro trimestre. Isto inclúe tanto os arquivos do ordenador como as ligazóns gardadas no google reader e no delicious. Aqueles que non acometesen esta tarefa quedarían abraiados coa cantidade de libros, vídeos, animacións, imaxes, artigos, blogues, ... que van quedando a un lado ata que se atopa o tempo axeitado para ocuparse deles.

Por se tivese pouco que facer, hoxe mesmo descubrín que estamos no remate dun estudo internacional da IEA (a mesma axencia que fai TIMSS e PIRLS) sobre a formación inicial dos profesores de Matemáticas, Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M). Estudo no que participamos cuha mostra de países realmente singular: Botswana, Canadá, Suiza (cantón alemán), Chile, Alemaña, Georgia, Malaysia, Noruega, Omán, Filipinas, Polonia, Rusia, Singapur, Tailandia, Taiwan, Estados Unidos.

O pdf co informe español pódese obter acó, onde polo visto aínda está oculto á proverbial capacidade de análise dos xornalistas. Cando cheguen a el veremos os titulares... eu recomendo con vehemencia unha frase para os xornalistas lacazáns (xa llela poño eu en vermello para que non teñan que buscar máis):

"Las puntuaciones medias obtenidas por los futuros profesores españoles en las pruebas sobre conocimientos están por debajo de la media internacional (500), tanto en conocimientos matemáticos como de didáctica de la matemática."

Eu polo momento quedo coa sensación de que os expertos educativos non teñen máis idea que calquera con sentido común e relación co ensino sobre cales son os factores de impacto na aprendizaxe dos alumnos, e mentres tanto van acumulando un historial de correlacións máis ou menos verosímiles. No documento cos marcos teóricos podemos ler como recoñecen a súa ignorancia sobre un aspecto que semella lóxico:

7. Teacher education is assumed to be linked to student achievement, but this relationship is poorly understood.

O que vén sendo, máis ou menos: 7.Cremos que a formación dos profesores debe de estar conectada co grao de aprendizaxe dos estudantes, pero esta conexión non é ben coñecida.

E nestas andamos, a piques de comezar outro ano do século XXI.

Co gallo de non rematarmos con mal sabor de boca o ano, traio un vídeo de animación que rapidamente veredes por que concorda cos temas habituais do blogue.  Do artista, István Orosz, souben grazas a Acertijos y más cosas. Advirto que a atmosfera creada pola animación e a súa música chega a resultar inquietante:

The third and the seventh

No número 71 da revista $suma^+$  da Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas hai varias cousas que me resultaron interesantes. A primeira, unha grande coincidencia: Fernando Tébar Cuesta asina un artigo titulado "Las matemáticas y el Bachillerato a lo largo del tiempo (1ª parte: desde 1953 hasta la LOGSE). É unha coincidencia porque, como xa comentei, estiven a fedellar na web do BOE co obxectivo de analizar a evolución do curriculum de Matemáticas desde a miña época de estudante ata a actualidade. O artigo de Fernando Tébar non se centra no curriculum, senón que comenta a estrutura dos estudos ademais do contexto no que se van desenvolvendo as novas leis. A bibliografía que apunta seguramente vai ser moi útil.

A segunda cousa interesante da revista é a entrevista que lle fan ao artista Cristóbal Vila, do que moitos lembraredes os dous traballos que comentei acó e acó. O momento máis revelador dáse cando o artista recoñece que nunca tivo un interese serio nas Matemáticas (co habitual comentario posterior sobre o escaso atractivo das clases e bla, bla, bla...), que o seu interese é máis que nada "visual". Creo que este momento é revelador porque evoca automaticamente a un dos aspectos da mente dos adolescentes que non podemos obviar cando traballamos en educación matemática: o feito de que as Matemáticas sexan útiles, que estean "debaixo" da realidade tanxible, e incluso que teñan atractivo estético... non é abondo para que un alumno se interese por elas. E máis cando as ferramentas tecnolóxicas que manexan tódolos días encubren totalmente calquera mostra da ciencia (e a tecnoloxía, tamén) que dá vida ás ferramentas. Isto non é casual: o obxectivo  dos que crean estas ferramentas é a facilidade de uso, o que leva á asimilación e ao espallamento da ferramenta. Un exemplo paradigmático témolo nos sistemas operativos que fan funcionar hoxe aos ordenadores, outro nos smartphones pensados para que calquera os saiba manexar.

Na entrevista Cristóbal Vila tamén o vemos: "... los programas de modelado y animación ya incorporan multitud de herramientas que hacen casi innecesario al usuario lidiar con cuestiones matemáticas. Aparte de unos básicos conocimientos de Geometría, poca cosa [...] aunque el usuario únicamente se limita a variar ciertos parámetros sin necesitar conocer los cálculos que tienen lugar internamente."

É esencial que os que deseñan os curricula teñan en conta esta realidade, para que non fagan outra xenialidade como a de meter notación binaria aos 7 anos porque os ordenadores traballan con ceros e uns...

Deixando a un lado as queixas debidas á miña condición de profesor de Matemáticas, imos ao terceiro achádego: Cristóbal Vila menciona a outro artista, Alex Román, do que salienta esta obra, The third and the seventh, na que nada é o que parece ser:

The Third & The Seventh from Alex Roman on Vimeo.

The Crevasse

A verdade é que desde que non fomento que os meus alumnos lean este blogue, e ademais sei que hai unha pequena cantidade de colegas matemáticos que se pasan por este recuncho da rede (ubicado alén do monte Ancos), este sitio évos un pouco máis serio do que adoitaba ser. Supoño que, en certo modo, estarei contaxiado desa solemnidade propia do oficio. Ese falar-para-un-eventual-examinador que levou a despropósitos como o daqueles autores dun libro de texto do antigo COU no que aparecía a integral Lebesgue. Ou que provocou que nunhas xornadas dirixidas a profesores de secundaria de tódalas disciplinas científico-tecnolóxicas, un conferenciante "lembrase para tódolos asistentes" o concepto de difeomorfismo $C^{\infty}$.

Así que é tempo de relaxar un pouco esta tensión matemática, máis tendo en conta que teño previsto comezar unha serie de comentarios sobre a evolución do curriculum de Matemáticas. Pois cadrou que acabo de ler un post de Futility Closet que trouxo de volta do proceloso mundo da rede a un artista do arte urbano, Edgar Mueller. De tódalas obras que hai na súa web, eu tamén alucinei co making -off de "The Crevasse", é dicir, "A Fenda" (ou como diríamos por Ferrol, "A Fendecha")

Olimpíadas, exames, ...

Xusto agora que chegan os exames da primeira avaliación aos nosos centros están a publicar os problemas de olimpíadas matemáticas de todo o mundo. Entre elas podemos atopar a Panafricana, o Baltic Way, o AMC 8 dos Estados Unidos, a Olimpíada Rexional da India e a Olimpíada do Cono Sur. Hai moitos problemas interesantes nestas competicións, pero para propoñer un axeitado para as aulas de secundaria eu escollería o seguinte, tirado da AMC 8:

Unha circunferencia de radio 2 é dividida en 4 arcos congruentes. Os 4 arcos son unidos para formar a estrela seguinte. Cal é a razón entre a área da estrela e a do círculo orixinal?

   

E da Olimpíada Rexional da India, unha ecuación diofántica, tema habitual nas olimpíadas daquelas terras:

Atopar tódolos números naturais x, y e z tales que:

$$\left(2^x-1\right)\left(2^y-1\right)=2^{2^z}+1$$

Aínda que a ecuación pode ser resolta utilizando unicamente ideas elementais, o tipo e a profundidade do razoamento necesario escapa do común traballado polos profesores de Matemáticas nas aulas de secundaria e bacharelato. Mais estaba obrigado a compartila por acó...