Colle un DIN-A4

O problema de hoxe apareceu na rede polo 2015/16, seino porque teño o debuxo feito por min no cartafol Traballo 2015/16, mais non dou lembrado onde apareceu, nin dou atopado a pescuda que me faga atopala. Se alguén coñece a fonte, o meu non diagnosticado TOC agradecería que o puxese nos comentarios.

Velaquí o problema, que trata dun DIN-A4 mais non é o máis coñecido de dobrar á metade e dividir as dimensións:

Temos un DIN-A4, que ten dimensións en milímetros 210x297, apoiado sobre unha esquina nunha mesa, e de tal xeito que as dúas esquinas que comparten un lado co apoio están a alturas 10 e 12 centímetros. A que altura estará a cuarta esquina, que está oposta pola diagonal ao apoio?

Encántame este problema.

La reforma agraria va, de todas maneras va

Calquera profesor galego coñece o mecanismo: o curriculum dunha materia aparece no BOE, de aí vai ao DOG con poucos cambios, e nos institutos ou ben os xefes de departamento ou ben o departamento ao completo(estimo que isto último é máis raro) elabora a programación didáctica da materia. Cando o profesor ten que traballar unha unidade, consulta a programación, identifica contidos, criterios de avaliación, competencias e estándares de aprendizaxe de xeito máis ou menos rigoroso, e entón comeza o traballo onde cabe certa liberdade: deseñar a secuencia didáctica, decidindo actividades de aprendizaxe e de avaliación. En realidade, cando xa deches varios anos unha materia baixo unha lexislación, non tes que refacer todo, aínda que depende do tarado perfeccionista que sexas.

Supoñamos que é o momento de traballar a unidade de Proporcionalidade e Porcentaxes en 1º de ESO. Os contidos son os tradicionais: razón, proporción, magnitudes directamente proporcionais, regra de tres (ou non), redución á unidade (ou non), porcentaxes, e todos os procedementos asociados. O profesor decidirá que enfoque utiliza, se presenta os contidos de xeito máis ou menos expositivo, se deixa que os alumnos "descubran" parte dos contidos(coas limitacións que se autoimpoña, se coñece o que din os psicólogos que estudan a aprendizaxe), se propón problemas de introdución(que é o que adoito facer eu), etc. Por simplificarmos, imaxinemos que o profesor decide definir o concepto de razón de dous números a e b como $\frac{a}{b}$, pon exemplos sen contexto e con contexto, propón situacións sinxelas onde o relevante/interesante radica en calcular unha razón. Se na aula as preguntas/opinións/conversas son habituais, é probable que nalgún momento haxa un intercambio semellante a este:

- Se un xogador mete 16 de cada 30 tiros que intenta, e outro 23 de cada 45, a cal lle encargarías o lanzamento decisivo do partido?

- Ao primeiro, que só fallou 14 tiros.

Este intercambio é interesante por varias razóns: a primeira porque desvela o que se chama en inglés misunderstanding pero que en galego nin malentendido, nin confusión, nin equívoco, nin desde logo erro chegan a expresar por completo; a segunda porque o alumno escolleu a solución correcta pero por unha razón trabucada, o que ten que levar a unha discusión desta sutileza que certamente aparecerá en máis ocasións nas Matemáticas escolares.

En canto á primeira razón, o que está a suceder, se non é un erro por non estar concentrado, é unha mostra de pensamento aditivo mal utilizado, en troques do axeitado neste contexto, o multiplicativo. O primeiro recurso dun profesor pode ser amosar un caso esaxerado: se o segundo mete 978 de 1000 lanzamentos, é mellor ou peor que o outro xogador? O segundo recurso, situar a mesma idea matemática noutros contextos: mesturar cantidades de pintura azul e pintura amarela, ou café e leite; un caracol avanza 16 decímetros en 30 minutos e outro 23 en 45; etc. As posibilidades son infinitas.

Agora vén a confesión.

Un pode deseñar a secuencia do xeito máis coherente e cohesionado que poidades imaxinar, ter recursos para revelar os misunderstandings e remedialos ou emendalos, utilizar recursos "tradicionais" ou máis "modernos", lograr captar a atención dos alumnos para que todo isto teña repercusión nas súas mentes(se non comezamos por aí, o demais é superfluo), e aínda así, o momento no que o alumno do intercambio anterior por fin acepta e asimila que o axeitado é calcular a razón e non a diferenza é totalmente un misterio, polo menos para min. E non é un momento como o Ahá da inspiración ao resolver un problema, no que de súpeto atopas o interruptor do cuarto e os mobles cos que zoupaches agoran aparecen nítidos. Non, este rectificar unha confusión é máis paulatino, menos brusco, e desde logo, a impresión no alumno non é tan indiscutible. O momento Ahá, por poñer un exemplo trivial, sucede cando un dá atopado pola súa conta a solución a un enigma de pensamento lateral, e o que pensou con anterioridade deixa de ter sentido. Probade nesta ligazón algúns dos clásicos para vivir en tempo real a sensación á que me refiro.

No ensino das Matemáticas situacións semellantes abrollan continuamente. En que momento un alumno deixa de ver dous números independentes nunha fracción para entender globalmente o seu valor? Cando (se é que sucede) entende un alumno que unha ecuación é unha condición que cumpre a incógnita e non (só) unha secuencia de pasos predeterminada para chegar a un valor? Cando entende que se o 80% dun número vale 32, non hai que facer o 80% a 32? (vella teima miña) Cando asimila o concepto de función? Cando lle vai resultar evidente que $(\sqrt{x})^2=x$?  E que $\sqrt{x^2}=x$? (isto non é certo, pero vaia, dou clase na ESO) E a definición de logaritmo? E cando vai ver sen facer cálculo ningún que $\frac{3}{5}: \frac{3}{10}=2$?

Que sei a estas alturas do choio con respecto ás situacións anteriores? Que ás veces parece que o que fago como profesor ten reflexo no que aprenden os alumnos. Ás veces. Outras non. Vou abrir o champán.

O que teríades que facer os profesores de Matemáticas é...

A fin de semana pasada celebrouse a fase final da Olimpíada Matemática Española en Ourense(web oficial). Isto provocou que lle prestasen certa atención ao evento os medios folcloristas e provincianos, o que fixo que vise esta entrevista a un novo matemático galego, Óscar Rivero Salgado. No medio da entrevista aparece esta afirmación:

«Creo que o que falla é que nos institutos insístese moito en traballar con problemas mecánicos e rutinarios. Non se consegue entusiasmar moito aos alumnos. As matemáticas son moi útiles e moi atractivas se se plantexan ben. Non son unha serie de conceptos e fórmulas para memorizar»

Que logo continúa:

«A clave e saírse dos problemas tipo e enganchar a través do pensamento. O profesor tampouco pode deixar de facerse preguntas a si mesmo»

A que soa razoable? Calquera persoa que pense no ensino das Matemáticas en secundaria... e non se dedique ao ensino de Matemáticas en secundaria podería subscribir esa opinión. Case podería afirmar que eu, ao comezo da miña carreira docente, tiña unha opinión semellante, aínda que por sorte nunca a levei á práctica por completo. Por que afirmo "por sorte"? Porque co que sei agora, e cos estudos que hai, parece claro que as alternativas máis ou menos antigas á instrución explícita non son tan efectivas co groso do alumnado como aquela. E aínda que teño certa tendencia visceral cara o ensino baseado en problemas, tento controlala.

Pois ben, durante esta ~sesquidécada que levo na docencia, teño oído opinións máis ou menos estrambóticas, ridículas ou simplemente ignorantes sobre o que teríasmos que facer os profesores de Matemáticas de secundaria, probablemente debido a ser educado e aberto a discusións(agora xa son moito máis cortante, mencionando estudos para calar a boca, life is too short to waste on idiots). Agarrádevos, que veñen opinións case literais, tal e como as vou lembrando.

"O que tiñades que facer os profesores de Matemáticas é deixarvos de explicar tanto e dicir como se fan as cousas, que non son tan difíciles"

"Non sei que opinas ti, pero o que había que tentar é que lles gusten, que total as contas xa as fan as calculadoras"

"Eu non entendín as Matemáticas ata que, en Maxisterio, me ensinaron a relación das Matemáticas coa vida cotiá. Antes pensaba que eran abstractas, pero cando vin a conexión co concreto, xa lle vin sentido"

"Pero se só hai que practicar moito as contas e xa está!"

"Tes que machacalos a deberes para que entendan as Matemáticas, que mandas moi poucos"

"O que desmotiva á miña filla é que ela estuda e saca boas notas, pero os que non fan nada tamén van pasando de curso. Se suspendesen sería distinto"

"Pero que é o que non entenden? Letras para un lado, números para outro e xa está"

"Pois se algo non ten aplicación á vida diaria, non o deberíades dar"

"Fai falta que saiban as táboas de multiplicar? Se todos teñen calculadora no móbil"

"O mellor é explicar un só xeito de facer as cousas, para que non enleen"

"Non sei que facedes os profesores de Matemáticas, que logo saen sen entender unha hipoteca"

"Que máis dará que acaben a ESO sen saber Matemáticas, a min sempre se me deron mal e non pasou nada"

"Eu non entendo como un cativo pode suspender Matemáticas na ESO. Todos os cativos terían que aprobar ata 4º, sempre"

"Habería que facer todo co ordenador"

"En Matemáticas o importante é seguir os pasos"

"Eu xa lle digo: tes que estudar Matemáticas para pasar de curso"

En fin, cando todos sabemos por que hai que estudiar Matemáticas...

    

Paridade

Volvamos ao choio habitual deste blog, que como amosan as etiquetas, é principalmente traer problemas matemáticos. O de hoxe cae dentro da categoría "como vai ser certo iso... AH!", que non acae demasiado ben na nube de etiquetas lateral. Xulgade vós se teño razón e a categoría sería axeitada:

Temos un polígono P que cumpre dúas cousas:

• Todos os seus vértices teñen coordenadas enteiras
• Todos os seus lados teñen lonxitude enteira

Demostrar que o perímetro de P é un número par

Póñovos un exemplo non trivial de polígono nesas condicións, que un triángulo ou un cadrado non deixan ver a dificultade real do problema:

Se alguén está interesado, que comente se quere coñecer a fonte do problema.

A aparente desaparición das Humanidades

Na primeira páxina de resultados de google en 3 pescudas distintas

O outro día lin a enésima carta ao director dunha docente de Humanidades lamentando a desaparición destas disciplinas das aulas. E automaticamente tiven que ir mirar como están as cousas, comparándoas coa situación na que estudiei eu o instituto, aló pola primeira metade dos anos 90. E achei isto:

Eu estudei cando estaba vixente a Lei Xeral de Educación de 1970, coñecida como Lei Villar Palasí polo ministro franquista de educación que a impulsou. Para a rapazada que lea isto, daquela a educación obrigatoria remataba aos 13/14 anos, no décimo ano de escolaridade, co curso final da EXB(Educación Xeral Básica), que era 8º, e viría corresponder por idade co 2º de ESO actual. Ao final da EXB un recibía o graduado escolar en caso de que acadase os obxectivos da etapa, e o certificado de escolaridade en caso contrario. O ano seguinte un podía continuar facendo BUP ou FP, ambas as dúas opcións non eran xa obrigatorias, polo que os alumnos que obtivesen o certificado podían simplemente abandonar sen máis o sistema(non coñezo datos de cantos alumnos deixaban o sistema en cada caso, con e sen graduado, é de supoñer que o groso dos abandonos estaría formado polos que non o obtivesen)

Actualmente a educación é obrigatoria ata os 16 anos, que para un alumno que nunca repita curso significa rematar 4º de ESO, e para os casos habituais de saída do sistema, significa repetir 1º e 2º e liscar ou repetir un deses cursos e 3º e liscar. (Aviso a navegantes: os profesores non temos máis datos sobre o noso sistema educativo que os cidadáns, a nosa administración non fai estudos globais, nin sequera achega os resultados das avaliacións diagnóstico de xeito coherente, nin o famoso PISA cando toca nos nosos centros).

Expoño esta introdución para enfocar o asunto: de que están a falar cando apelan ao abandono das Humanidades? De educación obrigatoria? Do bacharelato? Da FP? Da educación primaria?

Polo visto nas recorrentes cartas, seica falan de ESO e bacharelato. Comparemos, pois, a situación anterior e a actual nesas etapas/idades.

• Entre 7º/8º de EXB e 1º e 2º de ESO as principais diferenzas están nas materias que introduciu a LOXSE: agora hai 2ª Lingua Estranxeira (usualmente Francés) en 1º e 2º e Música e Tecnoloxía en 2º. O resto de materias obrigatorias cambiaron pouco(Ciencias Naturais e Física e Química tiveron vicisitudes,p.ex.), agás no número de horas semanais. Ademais, agora hai unha hora semanal para unha materia de libre configuración, que pode ser das autonómicas ou de centro. Para que entendades, no meu centro ofertan Introdución á Linguaxe Audiovisual, Taller de Lectoescritura, Portugués I e II, Obradoiro de Música, Maquetismo e Programación. Non é moi relevante no número de horas, pero si talvez é síntoma da escora que, coido, ten o sistema.

• Vexamos 3º de ESO/1º de BUP. Daquela eu estudei Matemáticas-Ciencias Naturais(4h)- Galego-Inglés-Castelán-Historia- Música(era Historia da Música)-Educación Plástica-Ética-Educación Física. Hoxe os alumnos teñen 13 materias, Matemáticas-Bioloxía e Xeoloxía(2h)-Física e Química(2h)- Galego-Inglés-Castelán-Xeografía e Historia-Música-Tecnoloxía-Educación Plástica-Educación Física-Valores Éticos, e teñen que escoller entre 2ª Lingua Estranxeira e Cultura Clásica. 

Ata aquí como o ides vendo?

• 4º de ESO/2º de BUP. Eu non puiden escoller nada con 15 anos, agás a EATP(Ensinanzas e Actividades Técnico-Profesionais), entre Teatro/Informática/Deseño/Francés. As materias obrigatorias eran Matemáticas-Física e Química-Galego-Literatura Española-Inglés-Latín-Xeografía-Educación Física. En troques, 4º de ESO presenta unha optatividade enorme. Para empezar, os alumnos teñen que escoller entre dúas opcións, Ensinanzas Académicas e Ensinanzas Aplicadas. (Inciso: a idea do PP coa LOMCE era cortar o acceso ao bacharelato desde a opción de aplicadas, aínda que poñendo a escusa de que o que imposibilitaría acceder sería a reválida escollida, non a opción cursada. Loxicamente, un alumno de aplicadas faría a reválida de aplicadas, de facto ía ser a opción a chave. Como, por sorte, as reválidas non chegaron a entrar en vigor, o título de ESO é único). As materias comúns ás dúas opcións son Galego-Castelán-Inglés-Xeografía e Historia-Educación Física-Valores Éticos/Relixión. Hai unhas Matemáticas ad hoc en cada opción, co nome rimbombante Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas/aplicadas; e despois os alumnos teñen que optar en académicas por 2 das 4 materias troncais de opción Física e Química-Bioloxía e Xeoloxía-Economía-Latín e en aplicadas por 2 das 3 materias Ciencias Aplicadas-Iniciación á Actividade Emprendedora e Empresarial-Tecnoloxía. Finalmente as dúas opcións completan o horario con dúas materias específicas a escoller entre Artes Escénicas e Danza, Cultura Científica, Cultura Clásica, Educación Plástica, Visual e Audiovisual, Filosofía, Música, 2ª Lingua Estranxeira, TIC, ou unha materia troncal de opción non escollida entre as de arriba.(e que pode ser de calquera das opcións).

Diferenzas evidentes: o Latín xa non é obrigatorio, aínda que permanece como troncal de opción de académicas, e aparece un feixe de materias específicas, con 3 horas semanais, das que salientaría Filosofía, Cultura Clásica e Francés. Un alumno interesado polas Humanidades podería en principio cursar en 4º de ESO Latín, Economía, Filosofía e Cultura Clásica. Que materias tería de Ciencias? Matemáticas Académicas. Un alumno dese perfil en 2º de BUP tería efectivamente Latín, mais tamén Matemáticas e Física e Química.

Pasemos ao bacharelato, que lembremos que é unha etapa postobligatoria

• 1º de Bacharelato/3º de BUP. En 3º de BUP había que optar por Ciencias e Letras, con opcións intermedias Ciencias Mixtas/Letras Mixtas. Todas as opcións incluían Literatura Galega-Inglés-Historia de España-Filosofía-Ed. Física-Ética/Relixión. Se escollías Ciencias Puras, tiñas ademais Matemáticas I, Física e Química e Ciencias Naturais. En Letras Puras, Latín, Grego e Literatura Española. En Ciencias Mixtas, Matemáticas I, Ciencias Naturais e Literatura Española. En Letras Mixtas, Latín, Matemáticas II e Literatura Española. Actualmente hai dúas modalidades comúns, Ciencias e Humanidades e Ciencias Sociais, aínda que hai centros que tamén teñen o Bacharelato de Artes(Plásticas ou Escénicas, Música e Danza). Centrándonos nas dúas modalidades máis habituais, as materias obrigatorias son Galego-Castelán-Inglés-Filosofía-Ed. Física, en Ciencias teñen Matemáticas I e teñen que escoller 2 materias troncais de opción entre Física e Química-Bioloxía e Xeoloxía- Debuxo Técnico I. Na outra modalidade teñen dous itinerarios, un de Humanidades e outro de Ciencias Sociais(btw, estou moi en contra de que non sexan modalidades individuais, por razóns relacionadas, precisamente, coas materias de opción). En Humanidades teñen Latín I e en Ciencias Sociais Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais I, pero logo teñen que escoller 2 troncais de opción entre as 4 materias Historia do Mundo Contemporáneo-Economía-Grego I-Literatura Universal. En calquera modalidade teñen que completar horario cursando 2 ou 3 específicas, das cales unha pode ser troncal de opción non cursada(de calquera modalidade), entre TIC-Cultura Científica-Linguaxe e Práctica Musical-Debuxo Artístico-Análise Musical-2ª Lingua Estranxeira-Tecnoloxía Industrial I-Volume-Anatomía Aplicada.

• 2º de Bacharelato/COU. En COU o núcleo común estaba formado por Castelán-Galego-Inglés-Historia da Filosofía, e logo tiñas 4 opcións para escoller: A) Científico-Tecnolóxica, B) Biosanitaria, C) Ciencias Sociais e D) Humanística. Había dúas materias vinculadas a cada opción, respectivamente, Matemáticas I e Física, Química e Bioloxía, Matemáticas II e Historia do Mundo Contemporáneo, Latín e Literatura Española/Literatura Galega. Ademais das vinculadas, había que coller dúas materias optativas entre as vinculadas non escollidas e Xeoloxía nas opcións A e B, e Historia da Arte e Grego nas opcións C e D. No 2º de bac actual, seguen as modalidades de 1º, as materias obrigatorias son Galego-Castelán-Inglés-Historia de España, e as troncais de modalidade continúan as de 1º: Matemáticas II, Latín II e Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais II. Tamén hai que escoller 2 troncais de opción, en Ciencias son Física-Bioloxía-Xeoloxía-Química-Debuxo Técnico II, en Humanidades e Ciencias Sociais son Economía da Empresa-Grego II-Historia da Arte-Xeografía- Historia da Filosofía, aínda que este ano hai unha novidade legalmente algo dubidosa, que consiste en que a troncal de opción Historia da Filosofía é obrigatoria de facto en Humanidades e Ciencias Sociais e de oferta obrigatoria para os centros en Ciencias. De novo, hai que completar horario con 2 materias específicas entre TIC II-Fundamentos da Administración e a Xestión-Psicoloxía-Análise Musical-Ciencias da Terra e o Medioambiente-Francés II-Historia da Música e da Danza-Debuxo Artístico-Tecnoloxía Industrial II e as materias de libre configuración autonómica ou centro, cuxa escolla está limitada por non constar como específicas na lexislación e que haxa que cursar un mínimo de 2 específicas.

Resumindo, nas opcións actuais hai máis materias de humanidades e artes que cando estudei eu. Por outra banda, un alumno de Ciencias terá como moito a metade das materias de ciencias, mentres que un alumno de Humanidades poderá non ter ningunha materia de ciencias, o que vén reproducir o que sucedía no meu antigo COU.

A que se debe, entón, o reiterado salaio dos profesores de Humanidades? Para empezar, o lamento adoita proceder do profesorado de Filosofía e Clásicas, non do profesorado de Historia. Ao comezo da LOXSE o profesorado de Latín viu como a súa materia deixou de ser obrigatoria, daquela houbo protestas, que parece que se esvaeceron a estas alturas(non me fagades pensar mal e intuír a razón). O profesorado de Filosofía protestou fortemente contra a LOMCE pola baixada de rango da Historia da Filosofía de obrigatoria a troncal de opción, a nivel galego obtiveron o que comentei en 2º de bacharelato. Inflúe isto na formación do alumnado español? Inflúe, si, entre o alumnado que cursa 2º de bacharelato, etapa non obrigatoria. Inflúe, como din de xeito pretencioso, na escaseza de pensamento filosófico da sociedade, a perda de valores, a decadencia de occidente, etc...? Eu son moi escéptico. A Historia da Filosofía foi unha das miñas materias favoritas de COU, mais non deixaba de ser unha materia de estudo de 7 filósofos e as súas obras(Platón-Santo Tomé-Descartes-Kant-Marx-Nietzsche-Marcuse). Habería que preguntarlles aos meus compañeiros de COU que opinaban do fomento do espírito crítico e do pensamento filosófico nesa materia. Basicamente era un varrido da historia da filosofía occidental con saltos máis ou menos suaves, dirixido ao exame de selectividade, en formato comentario de texto-cuestións teóricas curtas-pregunta teórica longa.

Os que chegastes ata aquí(lendo en diagonal, adiviño), que opinades, desaparecen as Humanidades?