Un problema do Baccalauréat général

É ben sabido que o exame de Matemáticas II da ABAU é, e foi sempre, un exame tipo. Entre as dúas ocpións atopamos sempre un exercicio técnico de matrices cunha ecuación matricial, a discusión dun sistema lineal con 3 ecuacións e 3 incógnitas, o comportamento dunha función, o estudo da derivabilidade/continuidade dunha función, o cálculo da área baixo unha curva, un problema de optimización, un exercicio de puntos simétricos, planos e rectas perpendiculares, e coa LOMCE, un exercicio de cálculo aritmético de probabilidades (onde aparezan probabilidades condicionadas, intersección e unión de sucesos) e un de cálculo de distribución binomial/normal.

Cada vez que nun exercicio cae algo que se escapa minimamente do esperado, notamos unha perturbación na Forza. Sabedes por que? Porque, en contra do que din moitos, as Matemáticas son difíciles, e ensinar Matemáticas a grupos heteróxeneos, tamén. Se tentas ensinar aos alumnos as ideas que aparecen no curriculum de bacharelato e despois avalías esas ideas xunto aos procedementos, vas ter todo tipo de obstáculos. Para ter éxito nesa intención, vas ter que apoiarte nun traballo por parte dos alumnos que obvia que teñen, como mínimo, outras 9 materias en 1º de bacharelato e outras 7 en 2º.

Isto vén a conto de que hai moitos profesores, sobre todo de universidade, pedindo que cambie o tipo de cuestións que se avalían no exame de Matemáticas da ABAU. Por isto estiven a pescudar un chisco pola rede os equivalentes á nosa ABAU noutros países europeos. Salvando as distancias, pois non sei se o sistema segregador de Alemaña pode compararse co noso (segregador tamén, pero distinto: funciona de facto por clase social), fun buscar o Abitur alemán e o Baccalauréat francés, que aparecían xunto ao Maturitá italiano no único artigo español que vin sobre o tema, ¿Qué se pregunta en Europa en las matemáticas de selectividad?, na revista SUMA. E atopei varias cousas curiosas polo distintas que resultan. Observade esta xeira de cuestións do exercicio 3 do Baccalauréat deste mes:

1. No conxunto $\mathbb{C}$ dos números complexos, consideramos a ecuación $$(E):z^2-2 \sqrt{3}z+4=0$$
Chamemos A e B aos puntos do plano que son os afixos das raíces da ecuación (E)
Afirmación 1: O triángulo OAB é equilátero.

2. Chamemos u ao número complexo $u=\sqrt{3}+i$ e $\overline{u}$ o seu conxugado.
Afirmación 2: $u^{2019}+\overline{u}^{2019}=2^{2019}$

3. Sexa n un enteiro natural non nulo. Consideremos a función $f_n$ definida no intervalo $[0,+\infty)$ por $f_n(x)=x e^{-nx+1}$
Afirmación 3: Para todo enteiro natural $n \geq 1$, a función $f_n$ admite un máximo.

4. Chamemos C á gráfica da función f definida en $\mathbb{R}$ por $f(x)=cos(x) e^{-x}$
Afirmación 4: A curva C admite unha asíntota en $+\infty$

5. Sexa A un número real estrictamente positivo. Consideremos o algoritmo seguinte

$I \leftarrow 0 \\ Mentres\ 2^I \leq A \\ I  \leftarrow I+1  \\ Fin \ do \ bucle $
Afirmación 5: $15 ln2 \leq lnA \leq 16 ln 2$


A primeira vista, non é como ver a selectividade dunha civilización alieníxena?

Voronoi e a escola pública

Souben dos diagramas de Voronoi relativamente tarde. Non os descubrín ata anos despois de rematar a carreira de Matemáticas, cando xa levaba uns lustros dando clase. E xuraría que a primeira vez que lles prestei atención foi nun artigo de Clara Grima, pode que neste ou neste, que recomendo como todos os seus. Pouco despois lin o artigo Voronoi no Courel, que publicou o compañeiro Manuel na revista Gamma de Agapema. Alí veñen varios exemplos de utilización dos diagramas, o insinuado no título moi ben detallado, pero tamén varios referentes ao territorio galego.

Por se alguén pensa que Voronoi era un xogador de xadrez coetáneo a Fischer ou un membro do Politburo da URSS, expliquémolo: un diagrama de Voronoi determinado por puntos $P_1,P_2, \dots, P_n$ no plano é a descomposición en rexións $R_1,R_2, \dots, R_n$, onde $R_k$ a zona do plano composta polos puntos que están máis preto de $P_k$ que de calquera dos outros puntos $P_i$

Volveume á memoria o artigo de Manuel cando tiven que ocuparme, como xefe de estudos do meu instituto, das zonas de influencia dos centros educativos en Ferrol, pois outro exemplo no seu artigo estudaba as zonas escolares na cidade de Lugo. Pescudando na rede, i.e., chegando á segunda páxina de resultados en google, tamén vin este diagrama das zonas escolares de Melbourne(que tamén está na wikipedia, vaia)

No primeiro que pensei foi na distribución dos colexios públicos e dos concertados, que é un problema serio nas zonas urbanas. Observade no mapa de Ferrol os CEIP(públicos, en verde) e os CPR(privados concertados, en azul). A simple vista percibimos que agás 2 centros, o resto está amoreado en zona urbana. Mirando máis polo miúdo, vemos que no barrio de Ferrol Vello non hai ningún colexio público. 

Reparemos no diagrama de Voronoi determinado polos centros públicos:

Doniños, San Xurxo, Esmelle, Covas, Brión, O Pieiro, A Graña... O Oeste

Notades algo? Nas celas de Voronoi dos tres centros públicos no rural non atopamos ningún centro concertado. En troques, na cela do CEIP Cruceiro de Canido amoréanse ata 4 centros concertados, e na do CEIP Recimil outros 3 concertados. En Caranza hai dous centros concertados e un público, e na zona de Ultramar-ensanche B, un de cada. O único centro concertado que está no arrabaldo da zona urbana é o CPR Valle Inclán, na estrada de Xoane, non moi preto do CEIP San Xoán de Filgueira.

Liberdade de elección, non era? Para as familias da zona urbana, debe de ser. 

Deixo para unha entrada posterior a análise das zonas educativas dos institutos de secundaria, que é realmente sorprendente.

Un de bólas e urnas

Para esquecer un anaco as présas do fin de curso, que na materia de Matemáticas se incrementaron co hipertrofiadocurriculum imposto pola LOMCE, estiven a botar unha ollada a varios libros de problemas aos que non lles fixera moito caso. E atopei este de probabilidade no Jim Totten's Problems of the Week:

Unha urna contén p bólas brancas e q bólas negras, e hai unha morea de bólas negras ao lado da urna. Dúas bólas son escollidas ao chou e extraídas da urna. Se son da mesma cor, metemos na urna unha bóla negra da morea. Se son de distinta cor, metemos a bóla branca de novo na urna. O procedemento é repetido ata que as dúas últimas bólas son extraídas e unha última bóla é introducida. Cal é a probabilidade de que esta derradeira bóla sexa branca?

Daría un premio a quen resolvese este problema do xeito máis complicado posible.

Colle un DIN-A4

O problema de hoxe apareceu na rede polo 2015/16, seino porque teño o debuxo feito por min no cartafol Traballo 2015/16, mais non dou lembrado onde apareceu, nin dou atopado a pescuda que me faga atopala. Se alguén coñece a fonte, o meu non diagnosticado TOC agradecería que o puxese nos comentarios.

Velaquí o problema, que trata dun DIN-A4 mais non é o máis coñecido de dobrar á metade e dividir as dimensións:

Temos un DIN-A4, que ten dimensións en milímetros 210x297, apoiado sobre unha esquina nunha mesa, e de tal xeito que as dúas esquinas que comparten un lado co apoio están a alturas 10 e 12 centímetros. A que altura estará a cuarta esquina, que está oposta pola diagonal ao apoio?

Encántame este problema.

La reforma agraria va, de todas maneras va

Calquera profesor galego coñece o mecanismo: o curriculum dunha materia aparece no BOE, de aí vai ao DOG con poucos cambios, e nos institutos ou ben os xefes de departamento ou ben o departamento ao completo(estimo que isto último é máis raro) elabora a programación didáctica da materia. Cando o profesor ten que traballar unha unidade, consulta a programación, identifica contidos, criterios de avaliación, competencias e estándares de aprendizaxe de xeito máis ou menos rigoroso, e entón comeza o traballo onde cabe certa liberdade: deseñar a secuencia didáctica, decidindo actividades de aprendizaxe e de avaliación. En realidade, cando xa deches varios anos unha materia baixo unha lexislación, non tes que refacer todo, aínda que depende do tarado perfeccionista que sexas.

Supoñamos que é o momento de traballar a unidade de Proporcionalidade e Porcentaxes en 1º de ESO. Os contidos son os tradicionais: razón, proporción, magnitudes directamente proporcionais, regra de tres (ou non), redución á unidade (ou non), porcentaxes, e todos os procedementos asociados. O profesor decidirá que enfoque utiliza, se presenta os contidos de xeito máis ou menos expositivo, se deixa que os alumnos "descubran" parte dos contidos(coas limitacións que se autoimpoña, se coñece o que din os psicólogos que estudan a aprendizaxe), se propón problemas de introdución(que é o que adoito facer eu), etc. Por simplificarmos, imaxinemos que o profesor decide definir o concepto de razón de dous números a e b como $\frac{a}{b}$, pon exemplos sen contexto e con contexto, propón situacións sinxelas onde o relevante/interesante radica en calcular unha razón. Se na aula as preguntas/opinións/conversas son habituais, é probable que nalgún momento haxa un intercambio semellante a este:

- Se un xogador mete 16 de cada 30 tiros que intenta, e outro 23 de cada 45, a cal lle encargarías o lanzamento decisivo do partido?

- Ao primeiro, que só fallou 14 tiros.

Este intercambio é interesante por varias razóns: a primeira porque desvela o que se chama en inglés misunderstanding pero que en galego nin malentendido, nin confusión, nin equívoco, nin desde logo erro chegan a expresar por completo; a segunda porque o alumno escolleu a solución correcta pero por unha razón trabucada, o que ten que levar a unha discusión desta sutileza que certamente aparecerá en máis ocasións nas Matemáticas escolares.

En canto á primeira razón, o que está a suceder, se non é un erro por non estar concentrado, é unha mostra de pensamento aditivo mal utilizado, en troques do axeitado neste contexto, o multiplicativo. O primeiro recurso dun profesor pode ser amosar un caso esaxerado: se o segundo mete 978 de 1000 lanzamentos, é mellor ou peor que o outro xogador? O segundo recurso, situar a mesma idea matemática noutros contextos: mesturar cantidades de pintura azul e pintura amarela, ou café e leite; un caracol avanza 16 decímetros en 30 minutos e outro 23 en 45; etc. As posibilidades son infinitas.

Agora vén a confesión.

Un pode deseñar a secuencia do xeito máis coherente e cohesionado que poidades imaxinar, ter recursos para revelar os misunderstandings e remedialos ou emendalos, utilizar recursos "tradicionais" ou máis "modernos", lograr captar a atención dos alumnos para que todo isto teña repercusión nas súas mentes(se non comezamos por aí, o demais é superfluo), e aínda así, o momento no que o alumno do intercambio anterior por fin acepta e asimila que o axeitado é calcular a razón e non a diferenza é totalmente un misterio, polo menos para min. E non é un momento como o Ahá da inspiración ao resolver un problema, no que de súpeto atopas o interruptor do cuarto e os mobles cos que zoupaches agoran aparecen nítidos. Non, este rectificar unha confusión é máis paulatino, menos brusco, e desde logo, a impresión no alumno non é tan indiscutible. O momento Ahá, por poñer un exemplo trivial, sucede cando un dá atopado pola súa conta a solución a un enigma de pensamento lateral, e o que pensou con anterioridade deixa de ter sentido. Probade nesta ligazón algúns dos clásicos para vivir en tempo real a sensación á que me refiro.

No ensino das Matemáticas situacións semellantes abrollan continuamente. En que momento un alumno deixa de ver dous números independentes nunha fracción para entender globalmente o seu valor? Cando (se é que sucede) entende un alumno que unha ecuación é unha condición que cumpre a incógnita e non (só) unha secuencia de pasos predeterminada para chegar a un valor? Cando entende que se o 80% dun número vale 32, non hai que facer o 80% a 32? (vella teima miña) Cando asimila o concepto de función? Cando lle vai resultar evidente que $(\sqrt{x})^2=x$?  E que $\sqrt{x^2}=x$? (isto non é certo, pero vaia, dou clase na ESO) E a definición de logaritmo? E cando vai ver sen facer cálculo ningún que $\frac{3}{5}: \frac{3}{10}=2$?

Que sei a estas alturas do choio con respecto ás situacións anteriores? Que ás veces parece que o que fago como profesor ten reflexo no que aprenden os alumnos. Ás veces. Outras non. Vou abrir o champán.