Tilt

 Non sei se xa comentei por aquí que as primeiras demostracións que vin como alumno do antigo BUP foron as que usaban o produto escalar en 3º de BUP. En realidade xa víramos algunha identidade trigonométrica, pero en realidade só as vin como comprobacións alxébricas máis que como demostracións xenuínas.

E nese 3º de BUP vin por primeira vez que o ángulo inscrito na semicircunferencia é recto(nunca vimos o concepto de arco capaz, nin demostráramos que o ángulo inscrito é a metade do central que abrangue o mesmo arco, nin nada de nada), o Teorema da Altura, o Teorema do Cateto, e algún resultado sobre sumas de cadrados dos lados de cuadriláteros que non lembro exactamente(pero que seguro que se podía demostrar utilizando o Teorema de Pitágoras unhas cantas veces)

Como levo semanas sen revisar o feedly, tiña uns cantos centos de actualizacións, entre elas, varias decenas de Futility Closet, blog no que levo anos atopando feitos elementais ben interesantes. E de hai dúas semanas sumei un máis nesta entrada, Tilt:

   

Dado o cadrado ABCD, collemos un punto L na diagonal AC, de tal xeito que AL:LC=3:1, e consideramos o punto medio do lado AB, K. Amosar que $\angle{DLK}$ é recto.

A demostración que aparece en Futiliy Closet é moi elegante e o máis elemental que se pode agardar dun feito así, pero como eu levo varios anos consecutivos dando Matemáticas I, sempre teño os vectores agochados moi preto, polo que utilicei ese enfoque. Vou compartir a técnica, deixade de ler xa se queredes buscar vós unha demostración. Como esta semana todo o mundo fala da famosa foto do James Webb, eu vou poñer aquí a primeira foto tomada desde o espazo:

   

Imos manchar as mans de vectores logo. A estratexia vai consistir en escribir os vectores que forman o ángulo buscado en función dos vectores que forman os lados do cadrado, que obviamente son ortogonais ou paralelos, e teñen o mesmo módulo(porque este resultado é falso nun rectángulo calquera).

$$\overrightarrow{LD}\cdot\overrightarrow{LK}=\left( \overrightarrow{LC}+\overrightarrow{CD}\right)\cdot \left( \overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AK}\right)=\left( -\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}\right)\cdot \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right)=$$

$$\left[ -\frac{1}{4} \left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} \right)+\overrightarrow{CD} \right]\cdot \left[  \frac{3}{4}\left( \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} \right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right]=$$

$$\left( \frac{3}{4}\overrightarrow{CD}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DA}\right)\cdot \left( \frac{1}{4} \overrightarrow{CD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{DA}\right)=\frac{3}{16} \overrightarrow{CD}^2+\frac{9}{16} \overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DA}-\frac{1}{16}\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{CD}-\frac{3}{16}\overrightarrow{DA}^2=$$

$$\frac{3}{16}l^2+0-0-\frac{3}{16}l^2=0$$

Onde os dous produtos escalares son nulos porque CD e DA son lados consecutivos do cadrado.

Este cálculo pode modificarse e efectuar produtos escalares do vector que forma a diagonal cos vectores que forman os lados, pois o ángulo é ben coñecido, $\frac{\pi}{4}$. 

Insisto: a demostración fermosa é a que se amosa en Futility Closet, isto é meramente un exercicio para practicar.

Tres circunferencias e tres segmentos

 

Considerade a seguinte figura, na que vemos dúas circunferencias de raio 1 con centros A e B. Ademais, cada circunferencia pasa polo centro da outra. Debuxamos tamén a circunferencia con diámetro AB, e tamén os segmentos AC e BF tanxentes a esa circunferencia(ou ás outras, como prefirades)

   

O voso choio é atopar a medida dos segmentos CE e CD.

Pista: aínda onte estiven esbardallando sobre o que vai agromar aquí, este é o meu xeito de resarcirme.

Problema aritmético?

É ben coñecido o fenómeno que se produce ao dominar certas ferramentas, que ata ten nome, Lei do instrumento, e que popularmente se adoita expresar deste xeito:

Se a única ferramenta que tes é un martelo, tendes a ver calquera problema como se fose un cravo.

Como profesores é habitual observar este fenómeno no uso por parte do alumnado de estratexias previas ante novas situacións, problemas, etc., ás que se poden adaptar máis ou menos ben. Obviamente isto non é exclusivo dos alumnos, pois o coñecemento das destrezas propias da álxebra produce que o noso pensamento flúa máis (ou mellor) introducindo variables e incógnitas. Como mostra, esta entrada de hai case tres anos, na que ademais do problema presentado, eu mesmo na resposta a un comentario volvo caer no uso da álxebra. Pero quen pode sentirse culpable, se a álxebra, no fondo, é ben divertida?

No meu traballo na aula sempre ando á pescuda de problemas elementais pero difíciles, que requiran poucas ferramentas canónicas previas mais que non sexan sinxelos aínda así. Coido que levo compartida unha chea deles nestes anos, pero hai un campo no que non estou moi satisfeito aínda: o dos problemas aritméticos nos que haxa que pelexar con varias cantidades enteiras e as súas relacións. Polo que celebro cada nova situación que atopo nalgún libro, web ou olimpíada matemática. Observade o seguinte problema, que veño de achar no Virginia Tech Regional Mathematics Contest de 1982:

Unha caixa contén bólas de cores. Cada bóla é azul, branca ou vermella. O número de bólas azuis é polo menos a metade do número de bólas brancas, e como moito un terzo do número de bólas vermellas. O número de bólas que son brancas ou azuis é polo menos 55. Atopa o número mínimo de bólas vermellas.

Veña, resolvede o problema e sede sinceros: fixéstelo con álxebra? Unha vez resolto con álxebra, destes atopado un xeito de non usala? Ou xa o fixestes só por medios aritméticos desde o comezo?

Divertimento xeométrico(10)

 Obviando a miña máxima "Non te achegues a un libro de matemáticas básicas escrito por un ruso", dei con esta fermosura elemental que, sinceramente, pode que pasase por riba en decenas de ocasións. Porque para ver estas cousas hai que estar disposto a mirar ben.

Nesta figura podedes ver dous rectángulos que teñen os lados paralelos(ou perpendiculares, como queirades velos). Os puntos A, B, E e F teñen liberdade para moverse; loxicamente C, D, G e H dependen deles, o xeito exacto verédelo se movedes os primeiros puntos. Pois ben: intuídes de que vai o conto antes de darlle á caixa de verificación? E por que sucede?

É entusiasmo exclusivo meu ou isto pode ir directo a unha aula de 1º ou 2º de ESO destes días?

Olimpíada Matemática Galega 2022-Fase Final-5

Rematamos a quenda cos problemas da fase final da olimpíada matemática galega, cun problema cun aquel a problema sangaku.

Calcula a área e o perímetro da figura sombreada, sabendo que as unidades están en cm.

   

Como o perímetro é cousa de coñecer a lonxitude da circunferencia, centrémonos en atopar a área.

Para que pensedes vós antes de ver o que vén agora, déixovos un feito elemental que me encanta ver nas aulas:

   

Posto o obstáculo, imos ao choio. O xeito máis sinxelo que vin eu de atacar o problema consiste en facer un movemento desde a imaxe orixinal:

   

 

  

E quedar coa mesma área máis manexable:

   

E esta última figura xa é propia dos exercicios de áreas de libros de texto de 1º de ESO, polo que deixo as contas ao amable lector.

Remata aquí a quenda anual de problemas da olimpíada galega. Como sempre, parabéns e grazas a AGAPEMA, que organiza o concurso todos os anos.