A xeneralización de Liouville

Unha das identidades aritméticas máis curiosas que coñezo é:

$$1^3+2^3+3^3+ \dots +(n-1)^3+n^3=(1+2+3+ \dots +n-1+n)^2$$
Ou en forma de sumatorio, que habitualmente o fai menos lexible pero máis cool:

$$\sum_{i=1}^{n} i^3=(\sum_{i=1}^{n} i)^2$$
Se traducimos a identidade a palabras vén dicindo que a suma dos primeiros n cubos coincide co cadrado da suma dos primeiros n números. Vexamos os primeiros casos:
$$1^3+2^3=9=(1+2)^2$$ $$1^3+2^3+3^3=36=(1+2+3)^2$$ $$1^3+2^3+3^3+4^3=100=(1+2+3+4)^2$$

Confeso que nunca comento este feito nas clases de secundaria. O que me faltaba era que alguén quedase coa idea errónea de que podemos remexer nas potencias ao chou (crédeme, teño abondo con corrixir cousas como $3^{-1}=-3$). O que ten que quedar claro ao ver a igualdade é precisamente a súa rareza. A suma dos primeiros cubos non só é un cadrado, senón que é o cadrado da suma dos primeiros números. Por que terían que comportarse deste xeito os primeiros cubos? A ver, por que?

Non coñecín esta igualdade ata que a atopei nun capítulo do libro de Ron Honsberger "Ingenuity in Mathematics" (versión en castelán, "El ingenio en Matemáticas", La Tortuga de Aquiles, DLS Euler, 1994). Estou certo de que xa vira a identidade estudando o método de inducción para demostrar identidades numéricas, pero a miña falta de atención ou a présa coa que se degluten os coñecementos sendo estudante levoume a pasar por riba desta beleza de teorema.

No libro citado Honsberger non se conforma con presentar esta xoia, senón que ademais comenta a "Xeneralización de Liouville", unha idea xenial (outra máis¹) do matemático francés Joseph Liouville.

Estrañamente, o que amosou Liouville é que a devandita igualdade non é nin moito menos atípica. En realidade Liouville amosou un truco para atopar dun xeito simple a cantidade que nos pete de conxuntos de números que cumpren unha lei semellante. Agarrádevos que veñen curvas:

• Collemos un número calquera, p.ex. 12.
• Atopamos os seus divisores: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• Atopamos o número de divisores que ten cada un dos números do conxunto de enriba: 1, 2, 2, 3, 4, 6
• Os seis números anteriores cumpren a lei suma de cubos = cadrado da suma:

$$1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=1+8+8+27+64+216=324$$$$(1+2+2+3+4+6)^2=18^2=324$$

Collede calquera outro número natural. Seguide o procedemento. Abraiante, non si?

1 Outras xenialidades de Liouville: os números trascendentes coa pinta $\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000 \dots$ , o teorema de variable complexa que implica, entre outras cousas, que a función complexa seno non é acotada (pois non é constante) ou o "pouco importante" Teorema Fundamental da Álxebra^↩