Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js

20.2.13

Probas rápidas

Hoxe comezo unha serie de posts sobre demostracións breves. Hai unhas cantas que se inclúen dentro do tradicional nivel preto da terra deste blogue e que por tanto son idóneas. Non sei a onde levará esta serie, mais teño unhas cantas xa en mente.

Certo é que habitualmente o que fai que unha demostración poida ser máis breve é que se apoia en resultados previos, ás veces máis profundos. Polo que é boa idea desconfiar das demostracións sinxelas. Comecemos:

A proba de hoxe, que inaugura esta serie, é a que relaciona as potencias de 2:

20+21+22+23++2n1=2n1

A demostración rutineira consiste en sumar a progresión xeométrica de razón 2 desde 1 ata 2n1

É unha mera comprobación:

20+21+22+23++2n1=2n121=2n11=2n1


Cal é neste caso o xeito elegante?


Escribindo en binario o número 20+21+22+23++2n1:
obtemos
1111
onde hai n uns

Que sucede cando lle sumamos 1 a este número?

10000
onde temos n ceros

que non é máis que 2n


Moito mellor, non si? A persoa afeita ás Matemáticas pensará: por que é tan sinxelo?

0 comentarios:

Publicar un comentario