Probas rápidas

Hoxe comezo unha serie de posts sobre demostracións breves. Hai unhas cantas que se inclúen dentro do tradicional nivel preto da terra deste blogue e que por tanto son idóneas. Non sei a onde levará esta serie, mais teño unhas cantas xa en mente.

Certo é que habitualmente o que fai que unha demostración poida ser máis breve é que se apoia en resultados previos, ás veces máis profundos. Polo que é boa idea desconfiar das demostracións sinxelas. Comecemos:

A proba de hoxe, que inaugura esta serie, é a que relaciona as potencias de 2:

$$2^0+2^1+2^2+2^3+ \cdots + 2^{n-1}= 2^n-1$$

A demostración rutineira consiste en sumar a progresión xeométrica de razón 2 desde 1 ata $2^{n-1}$

É unha mera comprobación:

$$2^0+2^1+2^2+2^3+ \cdots + 2^{n-1}= \frac{2^n-1}{2-1}=\frac{2^n-1}{1}=2^n-1$$


Cal é neste caso o xeito elegante?


Escribindo en binario o número $$2^0+2^1+2^2+2^3+ \cdots + 2^{n-1}$$:
obtemos
$$111 \cdots 1$$

onde hai n uns

Que sucede cando lle sumamos 1 a este número?

$$1000 \cdots 0$$

onde temos n ceros

que non é máis que $2^n$


Moito mellor, non si? A persoa afeita ás Matemáticas pensará: por que é tan sinxelo?