A Maxia de Moessner

Mentres evitaba corrixir recuperacións de primeiro de bacharelato aproveitei para revisar o clásico de John Horton Conway e Richard Guy, The Book of Numbers. E alí descubrín esta xoia da aritmética que, confeso, debín de pasar por alto en lecturas previas. Aínda por riba, o feito que vou comentar hoxe tamén aparece no libro de Rons Honsberger More Mathematical Morsels.

Benvidos ao espectáculo de maxia de Alfred Moessner:

Comezamos cos números naturais en ringleira. Se riscamos os números pares (é dicir, cada dous números) e na segunda ringleira indicamos as sumas parciais dos números non riscados, que obtemos?

Pois si, os cadrados. Nada novo ata o momento.

Risquemos cada terceiro número (os múltiplos de 3, vaia). Na segunda ringleira calculamos as sumas parciais, riscamos o último número de cada bloque (é dicir, cada segundo número). Volvemos facer as sumas parciais e...

Isto empeza a parecer interesante.

A que xa adiviñades o que sucede se comezamos riscando cada catro números?

Se analizamos o que sucedeu nestes tres casos, vemos que, se comezamos riscando os números $\small{2n=n+n}$, acabamos cos números $\small{n^2=n \cdot n}$; se comezamos cos $\small{3n=n+n+n}$, rematamos cos $\small{n^3=n \cdot n \cdot n}$; se comezamos cos $\small{4n=n+n+n+n}$, atoparemos os $\small{n^4=n \cdot n \cdot n \cdot n}$.

É dicir, se comezamos con $\small{n+n, n+n+n, n+n+n+n,\dots}$, obteremos $\small{n \cdot n, n \cdot n \cdot n, n \cdot n \cdot n \cdot n,\dots}$

Pero non remata só cos múltiplos e as potencias o asunto. Vexamos que sucede se comezamos riscando os números triangulares, que teñen a estrutura $\small{\binom{n+1}{2}}$:

Non pode ser... os factoriais? Que fan aí os factoriais?

Quizais sexa máis útil ver os números triangulares como $\small{\binom{n+1}{2}=1+2+3+\dots+n}$ e os factoriais como $\small{n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n}$, de tal xeito que observamos que neste algoritmo, sempre que comecemos riscando cada certos pasos, nos que aparecen sumas, rematamos substituíndo esas sumas por produtos. Abraiante, non o neguedes.

Veña, que isto non é todo, risquemos os cadrados:

Isto é máis difícil de ver. Para entender o que pasa hai que lembrar primeiro que os cadrados poden expresarse:

$$1+2+3+ \dots+n-1+n+n-1+\dots +3+2+1=n^2$$

(a algún soaralle isto do post do 5º aniversario)

E que números obtemos? Sen saber previamente o truco é difícil de conxecturar que son os números coa pinta $\small{(n-1)!\cdot n!}$. Sabendo o truco, rapidamente acadamos os números $\small{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=(n-1)!\cdot n!}$

Déixovos que pensedes que ocorrería se comezamos riscando o 1, o 4, o 10 e sucesivamente imos incrementando o incremento unha unidade. A ver se recoñecedes os números que aparecen. E as xeneralizacións son case infinitas.