A Maxia de Moessner

Mentres evitaba corrixir recuperacións de primeiro de bacharelato aproveitei para revisar o clásico de John Horton Conway e Richard Guy, The Book of Numbers. E alí descubrín esta xoia da aritmética que, confeso, debín de pasar por alto en lecturas previas. Aínda por riba, o feito que vou comentar hoxe tamén aparece no libro de Rons Honsberger More Mathematical Morsels.

Benvidos ao espectáculo de maxia de Alfred Moessner:

Comezamos cos números naturais en ringleira. Se riscamos os números pares (é dicir, cada dous números) e na segunda ringleira indicamos as sumas parciais dos números non riscados, que obtemos?

Pois si, os cadrados. Nada novo ata o momento.

Risquemos cada terceiro número (os múltiplos de 3, vaia). Na segunda ringleira calculamos as sumas parciais, riscamos o último número de cada bloque (é dicir, cada segundo número). Volvemos facer as sumas parciais e...

Isto empeza a parecer interesante.

A que xa adiviñades o que sucede se comezamos riscando cada catro números?

Se analizamos o que sucedeu nestes tres casos, vemos que, se comezamos riscando os números $2n=n+n$, acabamos cos números $n^2=n\cdot n$; se comezamos cos $3n=n+n+n$, rematamos cos $n^3=n\cdot n\cdot n$; se comezamos cos $4n=n+n+n+n$, atoparemos os $n^4=n\cdot n\cdot n\cdot n$.

É dicir, se comezamos con $n+n,n+n+n,n+n+n+n,\dots$, obteremos $n\cdot n,n\cdot n\cdot n,n\cdot n\cdot n\cdot n,\dots$

Pero non remata só cos múltiplos e as potencias o asunto. Vexamos que sucede se comezamos riscando os números triangulares, que teñen a estrutura $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})$:

Non pode ser... os factoriais? Que fan aí os factoriais?

Quizais sexa máis útil ver os números triangulares como $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})=1+2+3+\cdots +n$ e os factoriais como $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n$, de tal xeito que observamos que neste algoritmo, sempre que comecemos riscando cada certos pasos, nos que aparecen sumas, rematamos substituíndo esas sumas por produtos. Abraiante, non o neguedes.

Veña, que isto non é todo, risquemos os cadrados:

Isto é máis difícil de ver. Para entender o que pasa hai que lembrar primeiro que os cadrados poden expresarse:

$$1+2+3+\cdots +n-1+n+n-1+\cdots +3+2+1=n^2$$

(a algún soaralle isto do post do 5º aniversario)

E que números obtemos? Sen saber previamente o truco é difícil de conxecturar que son os números coa pinta $(n-1)!\cdot n!$. Sabendo o truco, rapidamente acadamos os números $1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1=(n-1)!\cdot n!$

Déixovos que pensedes que ocorrería se comezamos riscando o 1, o 4, o 10 e sucesivamente imos incrementando o incremento unha unidade. A ver se recoñecedes os números que aparecen. E as xeneralizacións son case infinitas.