3·5 = 5·3, disque

 A Álxebra non é máis que Xeometría escrita, a Xeometría non é máis que a Álxebra figurada

Sophie Germain

Desde que Descartes introduciu o dicionario Álxebra-Xeometría que supuxeron as coordenadas, é un lugar común imaxinar os resultados alxébricos en termos xeométricos e viceversa. En realidade, xa os Elementos de Euclides incorporan unha boa colección de feitos xeométricos que coñecemos hoxe en día como Álxebra Xeométrica(algúns, como a propiedade distributiva ou o desenvolvemento de (a+b)², ata aparecen nas clases da ESO). Imos ver un dos lugares onde Xeometría e Álxebra teñen un contacto máis abraiante. Pero primeiro hai que ver un par de puntos en dúas semirrectas:

O Teorema de Pappus, ilustrado enriba, afirma que se collemos 6 puntos A, B, C, D, E e F en dúas semirrectas que parten dunha orixe O de xeito alternativo(A, C, E nunha e B, D e F na outra), e chamamos L, M, N ás interseccións das rectas AB, CD, EF coas rectas DE, FA e BC, respectivamente, sucede que L, M e N están na mesma liña recta.

Se alguén está a pensar que ocorre cando eses puntos L, M e N non están definidos, por mor do paralelismo das rectas, si, iso tamén está contemplado no teorema. Ide a Cut The Knot para aprender máis, aquí chéganos con observar que se AB é paralela a DE e CD é paralela a FA, entón EF tamén ten que ser paralela a BC.

Imos ver como atopar o produto de dous números a e b cunhas liñas familiares:

     

Do mesmo xeito atoparemos o produto de b e a:

    

Pois aquí chega o obxectivo desta entrada: como sospeitaredes, ab e ba coinciden. Como demostralo?

Na folla anterior vemos que efectivamente ab e ba coinciden. Podemos dicir que o temos comprobado mecanicamente. Mais iso non abonda.

Precisamente o Teorema de Pappus vai facer o choio: como as liñas laranxas son paralelas e as liñas grises son paralelas, a recta verde que une 1 con b ten que ser paralela á liña que une a con ab. Como a liña paralela á verde 1b é a a-ba, vemos que ab e ba efectivamente son o mesmo punto. Q.e.d. 

Se queredes ver os detalles técnicos que deixei a un lado, en The Four Pillars of Geometry de John Stillwell atoparédelos, xunto con moitas máis ideas.