"Escrito en 5 anos, pode durar milenios"

Cardano, who plagiarised before it was cool

O asunto de hoxe ten case 500 anos de historia, e comenza no Renacemento italiano. Sigamos a Girolamo Cardano cando resolveu a ecuación cúbica simplificada, $x^3+px=q$, ou se preferides, cando colleu prestada de Tartaglia a súa solución:

Collamos dous números $u$ e $v$ que cumpran $u-v=x$ e $u \cdot v=\frac{p}{3}$

Traballando con estas dúas novas variables:

$$(u-v)^3+p(u-v)=q$$

$$(u-v)[(u-v)^2+p]=q$$

$$(u-v)(u^2-2uv+v^2+3uv)=q$$

$$(u-v)(u^2+uv+v^2)=q$$

$$u^3-v^3=q$$

$$u^3-\Big(\frac{p}{3u}\Big)^3=q$$

$$u^6-qu^3-\Big(\frac{p}{3}\Big)^2=0$$

Resolvendo esta ecuación cuadrática en $u^3$:

$$u^3=\frac{q+-\sqrt{q^2+4\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}{2}$$

$$u^3=\frac{q}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}$$

Obtendo finalmente u e v como as dúas solucións da ecuación cuadrática, e desfacendo o cambio, a solución da ecuación orixinal:

$$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}$$

Cardano só traballaba con valores positivos dos coeficientes, mais o método pode ser replicado sen problemas para casos como $x^3=15x+4$ (collendo x=u+v). Aínda que hoxe en día usamos exactamente o mesmo método e traballamos con $p=-15, q=4$.

Observamos ademais a ecuación do exemplo ten a solución x=4.

Aplicando o método adaptado, obtemos:

$$x=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}$$

O que, en nomenclatura contemporánea, ten o aspecto

$$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$$

Como xa sabíamos que $x=4$ era unha solución da ecuación, significa isto que $\small{4=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}}$?

Polo visto Cardano xa atopara estes números esvaradizos estudando as solucións de problemas como o seguinte:

"Divide 10 en dúas partes que multiplicadas dean 40"

Este ten o aspecto típico dos primeiros problemas non lineares que propoñemos aló por 2º de ESO. Resolto cunha soa ecuación, chegamos a:

$$x(10-x)=40 \rightarrow x^2-10x+40=0 \rightarrow x=\frac{10 \pm \sqrt{100-160}}{2}=$$ 

$$\frac{10 \pm \sqrt{-60}}{2}= 5 \pm \sqrt{-15}$$

Que escribimos hoxe $$x=5 \pm i\sqrt{15}$$

Imaxinarios, chamaríadelos agora?

P.D.: levaba uns anos querendo falar un anaco da ecuación cúbica. Que sexa a primeira vez en 12 anos de choio que dou os números complexos é a escusa perfecta para esta entrada. Cardano escribiu o seu libro en 5 anos, estimou que o seu contido duraría milenios, e agora en 1º de Bacharelato miniaturizamos estas ideas en 5 ou 6 sesións. Dalgún xeito tiña que resarcirme.