Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

13.2.16

"Escrito en 5 anos, pode durar milenios"


Cardano, who plagiarised before it was cool

O asunto de hoxe ten case 500 anos de historia, e comenza no Renacemento italiano. Sigamos a Girolamo Cardano cando resolveu a ecuación cúbica simplificada, x3+px=q, ou se preferides, cando colleu prestada de Tartaglia a súa solución:

Collamos dous números u e v que cumpran uv=x e uv=p3

Traballando con estas dúas novas variables:

(uv)3+p(uv)=q
(uv)[(uv)2+p]=q
(uv)(u22uv+v2+3uv)=q
(uv)(u2+uv+v2)=q
u3v3=q
u3(p3u)3=q
u6qu3(p3)2=0
Resolvendo esta ecuación cuadrática en u3:
u3=q+q2+4(p3)22
u3=q2±(q2)2+(p3)2
Obtendo finalmente u e v como as dúas solucións da ecuación cuadrática, e desfacendo o cambio, a solución da ecuación orixinal:
x=q2+(q2)2+(p3)23q2(q2)2+(p3)23

Cardano só traballaba con valores positivos dos coeficientes, mais o método pode ser replicado sen problemas para casos como x3=15x+4 (collendo x=u+v). Aínda que hoxe en día usamos exactamente o mesmo método e traballamos con p=15,q=4.
Observamos ademais a ecuación do exemplo ten a solución x=4.
Aplicando o método adaptado, obtemos:
x=2+1113+21113
O que, en nomenclatura contemporánea, ten o aspecto
x=2+11i3+211i3

Como xa sabíamos que x=4 era unha solución da ecuación, significa isto que 4=2+11i3+211i3?

Polo visto Cardano xa atopara estes números esvaradizos estudando as solucións de problemas como o seguinte:

"Divide 10 en dúas partes que multiplicadas dean 40"

Este ten o aspecto típico dos primeiros problemas non lineares que propoñemos aló por 2º de ESO. Resolto cunha soa ecuación, chegamos a:
x(10x)=40x210x+40=0x=10±1001602= 
10±602=5±15

Que escribimos hoxe x=5±i15

Imaxinarios, chamaríadelos agora?


P.D.: levaba uns anos querendo falar un anaco da ecuación cúbica. Que sexa a primeira vez en 12 anos de choio que dou os números complexos é a escusa perfecta para esta entrada. Cardano escribiu o seu libro en 5 anos, estimou que o seu contido duraría milenios, e agora en 1º de Bacharelato miniaturizamos estas ideas en 5 ou 6 sesións. Dalgún xeito tiña que resarcirme.



2 comentarios:

  1. É realmente curioso. Eu espero que entre os dunha mesma comunidade teñamos os mesmos "lugares comúns", e que frases coma esta de Cardano coa que titulas a entrada, debería serme coñecida. Pois a pesar de ter lido varias veces en diferentes lugares a historia da resolución da cúbica, sorprendeume a frase. Se algunha vez a lin, nunca reparara nela.

    ResponderEliminar
    Respostas
    1. JJ2/23/2016 06:27:00 PM

      Eu recoñezo que é dos temas polos que máis veces pasei... por riba.
      Se xuntas que é máis sinxelo atopar a frase traducida ao inglés:"Written in five years, may it last as many thousands"
      que no orixinal:
      "Quinquies exscriptus, maneat tot millibus annis"
      Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus
      Probablemente porque se buscas "Ars Magna Cardano", a versión que sae, en pdf, reproduce unha versión posterior na que non aparece a tremenda frase.

      Eliminar