Unha aplicación das matrices á divisibilidade

Revisando as últimas adquisicións, atopei un algoritmo baseado nas operacións elementais sobre matrices que permite facer un cálculo ben coñecido na ESO. Só vou explicar como funciona o algoritmo, deixando os detalles ao amable lector, que se note en que facultade estudei, polo menos non vou dicir que é trivial(aínda que o sexa).

Collamos dous números calquera, 126 e 210, que ben poden aparecer nun libro de texto de 1º de ESO. Poñámolos en forma de columna xunto á matriz $I{d}_{2x2}$ e tentemos chegar a que un dos dous números se convirta en 0 mediante operacións elementais:

$\left[\begin{array}{ccc}210& 1& 0\\ 126& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{F_1-F_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}84& 1& -1\\ 126& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{F_2-F_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}84& 1& -1\\ 42& -1& 2\end{array}\right]\stackrel{F_1-2F_2}{\to }$ $$\left[\begin{array}{ccc}0& 3& -5\\ 42& -1& 2\end{array}\right]$$

Agora que obtivemos o 0 no lugar $a_{11}$, o elemento $a_{21}=42$ é o $M.C.D.(210,126)$, e ademais, os elementos $a_{22}$ e $a_{23}$ son os escalares da combinación linear dos números 210 e 126 que garante o Teorema de Bezout:

$$-1\cdot 210+2\cdot 126=42$$

Este algoritmo permite tamén obter a solución de ecuacións diofánticas lineais. Se quixésemos resolver, p.ex., $18x+30y=24$, non habería máis que obter os escalares mencionados arriba, neste caso $-3\cdot 18+2\cdot 30=6$, e multiplicar os dous membros da igualdade por 9(condición necesaria e suficiente para que unha ec. diofántica linear teña solución é que o M.C.D. dos coeficientes sexa divisor do termo independente).

Un par de cuestións:

Cantas operacións elementais hai que efectuar para obter o máximo común divisor mediante este método?

E máis importante, por que funciona chantar a matriz identidade ao lado do noso vector?

Noveno aniversario

Van nove anos de Matemáticas na Rúa. Como os que len este blog xa coñecen ben de que vai, vou limitarme a comentar o que vexo máis interesante deste período.

En primeiro lugar, non sei se fiarme moito do contador de visitas de blogger, pois hai un desfase enorme entre as primeiras entradas do ano, ata abril aproximadamente, e as do resto. Ata o punto de que a entrada aniversario dos 8 anos tivo 1000 visitas e a seguinte, Matemáticas para Profesorado de Educación Secundaria, 1175, mentres que unha entrada random, p.ex., Como sumar cunha parábola, 76. De vez en cando vexo orixes de visitas un tanto estrañas, supoño que será un novo avatar dos ataques spammers.

Descontada esta perversión, a entrada que semella ter máis visitas xenuínas é Ensinamos ben as Matemáticas?, con 381 visitas(entre dúas entradas con 83 e 62). Como vén sendo habitual, a entrada máis vista ten 0 comentarios, o que implica que se alguén viu algo interesante na entrada, é máis probable que comentase algo en twitter ou Facebook que no blog.

Por contra, a entrada máis comentada foi Reflexionemos, pois, debido a que é unha sorte de continuación dunha entrada nos Retallos de Matemáticas. Outras entradas comentadas foron Problemas matemáticos da Lusofonía-3(non hai como meter a zoca nunha solución, é o equivalente a escribir algo en twitter con faltas de ortografía) e o recente Nadal 2017- Problema 2.

Iso con respecto ao cuantitativo, imos ao cualitativo:

Se eu fose un lector alleo a este blog, coido que acharía interesante, alén de problemas aquí e acolá, a devandita entrada Ensinamos ben as Matemáticas? Na mesma liña vai a crítica que fixen en Conferencia de Claudi Alsina no CIBEM 2017. Nas dúas entradas tento debullar os argumentos que se adoitan pintar con brocha gorda cando se fala da educación matemática, non sei se con éxito, porén quedei satisfeito co que escribín.

Outra entrada con certo interese é Libros, na que por fin elaborei unha pequena compilación das fontes que, dun xeito ou outro, marcaron profesionalmente a este blogueiro.

Dentro dos problemas recuperaría Unha sorpresa elemental, aínda que, como apuntou Cibrán, a idea xa aparecera por acó. En realidade, a idea é tan curiosa que non me sorprendería que a trouxese noutra ocasión.

Ben, nada máis por este ano. En dous días teño que lograr que ninguén entenda nada de logaritmos, xa me tarda.