Divertimento xeométrico(8)

Xa vai sendo habitual que, revisando libros da colección, se caio nos de Ross Honsberger acabe atopando algunha figura elemental axeitada para este blog. O de hoxe apareceu pasando páxinas de Mathematical Delights, libro cun título ben merecido na miña opinión. Observade:

Consideremos un segmento AB e un punto móbil nel, P. Eriximos senllos triángulos equiláteros APQ e PBR sobre as bases AP e PB. Unimos mediante segmentos o punto A con R e o punto B con Q, e chamamos á súa intersección K.

Aposto a que xa sabedes o que vén agora

Pois ben, a pregunta é case obrigada:

Que figura percorre o punto K cando o punto P percorre o segmento AB?

Este é un deses casos nos que é sinxelo intuír a solución, é sinxelo estar convencido, mais non é tan inmediato atopar o xeito de demostralo.

Pero fedellemos un chisco máis nesta figura:

Seguramente o punto medio entre eses vértices Q e R, W, fará algo semellante ao que fai K, non si? Que opinades antes de meter a figura no Geogebra?

     

E para o final, o máis interesante (e complicado por tanto):

Que sucede se consideramos un dos dous triángulos equiláteros reflectido respecto ao segmento? É dicir, o outro triángulo equilátero que cumpre o mesmo pero está por embaixo. Na figura, o caso no que reflectimos é o que ten lado PB:

      

Neste caso consideramos as rectas que pasan polos vértices, os segmentos previos non chegan a cortarse. Chamei G(chamouno geogebra) ao punto de corte desas rectas, que figura percorre G cando P percorre o segmento AB?

Non mirei máis, pero quizais o cuadrilátero formado por A, O, B e Q teña tamén propiedades interesantes. Deixamos a investigación ao amigo lector.