Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-5

 

Rematamos a serie dedicada aos problemas da fase local deste ano co problema máis sofisticado dos cinco. Xulgade vós.

Problema 5:

Para o desfile de tropas romanas e castrexas do Arde Lucus 2026, hai inscritas exactamente 100 persoas. A organización só admite dous tipos de agrupacións:

• Patrullas pequenas, de 6 persoas.
• Cohortes grandes, de 10 persoas.

Non se permite deixar ninguén fóra nin formar agrupacións incompletas e non hai un número mínimo de agrupacións de ningún dos dous tipos.

1. Encontra unha posible forma de organización das patrullas e cohortes.
2. Atopa todas as organizacións posibles das patrullas e cohortes.
3. Cal é o mínimo número de formacións posibles? E o máximo?
4. Se nas seguintes recreacións participa outro número diferente N de persoas, para que valores de N será posible organizar as tropas deste xeito?

Non serei eu quen proteste pola inclusión dunha ecuación diofántica lineal, obviamente, pero só quería comentar que unha situación semellante xa caera na fase local  de 2015, no problema 3.  Lémbroo porque aquel ano foran 4 alumnos meus de Cedeira á fase local, que daquela se celebraba no IES Carvalho Calero.

Ah, e unha anécdota: cando estaba no salón de actos do meu instituto facendo o tempo despois de explicar como ía o conto dos códigos, díxenlles aos cativos que como a olimpíada se organiza en Lugo, é típico que metan algún problema co tema do Arde Lucus, a muralla, etc. Cando sentei e mirei os problemas, tiven que interromper o comezo da resolución para anuncialo: "VISTES O 5º PROBLEMA?!"

Se non perezo antes co choio deste fin de curso e a sensación de que cada ano que pasa, son peor profesor, agardo comentar os problemas da fase final, que é o 21 de maio. Veremos.