Sobre avaliacións externas en Finlandia

Non é ningunha sorpresa que eu non son moi afeccionado ás probas estandarizadas. En concreto PISA é habitualmente o branco das miñas críticas, tanto neste blogue como no twitter. Cada tres anos temos que ler/oír o ben que o fan os sistemas educativos de Shanghai, Singapur, Taiwan... e o mal que o facemos en España. Tamén, e como fenómeno esporádico, lemos o formidable que é a educación en Finlandia, dependendo do medio no que esteamos con frases como "Os profesores son recoñecidos socialmente", "O ensino regrado non comeza ata os 7 anos", "O sistema finlandés é ao 97% público", "Os alumnos teñen máis recreos" ou ben "Os profesores cobran menos e están máis preparados que os españois", "Os profesores españois non son avaliados"... Deixando a un lado que no informe do 2012 Finlandia baixou no ranking (o cal non ten por que implicar que o seu sistema empeorase), un detalle sobre a educación en Finlandia que tende a ser obviado é que hai opinións de profesores finlandeses que apuntan a que o coñecemento de contidos dos seus alumnos é deficitario, o que provoca, seguramente, que os seus resultados en TIMSS sexan significativamente peores que en PISA (que moitos pensamos que mide máis a comprensión lectora que a competencia matemática).

Pois ben, aproveitando as vacacións para buscar novos problemas, enfoques de contidos, etc. dei con este sumario sobre as avaliacións externas de Matemáticas en 9º grao en Finlandia do 1998 ao 2004 (está en inglés, non en finés). En 9º grao os alumnos teñen 15 ou 16 anos, e as avaliacións están divididas en dúas partes: unha tipo test con 25-30 items con 5 opcións cada un (cun minuto por ítem) e outra con tarefas abertas para avaliar as habilidades de resolución de problemas (entre 6 e 8 tarefas e entre 45 e 90 minutos); na última tamén houbo unha parte de cálculo mental. Os items entran dentro do ordinario nas clases de Matemáticas e están divididos en bloques dun xeito bastante standard: Números e operacións, Xeometría, Estatística e Probabilidade, Funcións e Álxebra. Quizais chame a atención que o nivel de dificultade non é moi elevado e en consecuencia resulte salientable o desempeño dos alumnos finlandeses, as súas porcentaxes de acerto. Como mostra mirade estes exemplos e tentade adiviñar a porcentaxe de acerto:

• Exemplo 1: (Números e Operacións) Canto custan os zapatos?
  
• 485 marks
• 425 marks
• 75 marks
• 350 marks
• 400 marks

Exercicio típico que comezamos a traballar en 1º de E.S.O.

• Exemplo 2: (Xeometría) A lonxitude da aresta dunha caixa cúbica é 20 cm. Cantos litros de froita pode conter a caixa?
• 8 litros
• 6 litros
• 20 litros
• 80 litros
• 4 litros

Os volumes adoitan aparecer en 2º de E.S.O., en ocasións os corpos xeométricos xa se traballan en 1º. 

• Exemplo 3: (Funcións) Segundo as instrucións, o zume concentrado é mesturado con auga na razón 1: 4. Canto zume diluído podes obter con 2 litros de zume concentrado?
• 4 litros
• 5 litros
• 6 litros
• 8 litros
• 10 litros

Intúo que consideran todo o contido da proporcionalidade dentro do bloque Funcións. Este tipo de exercicio aparece en 1º de E.S.O., con esta formulación levaría a moitos alumnos a escoller a primeira opción (calcularían a auga necesaria e non o total da mestura).

• Exemplo 4:(Álxebra) A expresión $\small{(2a)^3}$ pode ser expresada como:
• $\small{2a^3}$
• $\small{6a}$
• $\small{8a}$
• $\small{6a^3}$
• $\small{8a^3}$

Os monomios son introducidos normalmente en 1º de E.S.O., quizais non as potencias. Con 16 anos a porcentaxe de erro neste ítem tería que ser case nula

• Exemplo 5:(Xeometría) Un contedor cúbico está cheo de auga. Un cubo sólido, cuxa aresta mide exactamente a metade que a aresta do contedor, é mergullado no contedor. Que proporción da auga rebosará?

O mesmo que no exemplo 2, agás que hai que coñecer o Principio de Arquímedes para contestar.

• Exemplo 6:(Estatística e Probabilidade) Maija sacou un 7 no seu primeiro exame de Matemáticas. Que nota ten que sacar no seguinte exame para ter unha media de 8?

Supoño que o ítem aparece incluído en Estatística e Probabilidade porque fala dunha media aritmética. Ben podía aparecer en Números e Operacións, aínda que é sinxelo reformular o exercicio para convertelo nun problema no que habería que utilizar Álxebra.

• Exemplo 7:(Funcións) Lévame 24 minutos chegar á casa desde a escola a unha velocidade de 5 km/h. Canto tempo me levaría se fose en bicicleta a 15 km/h?

Outro exemplo de proporcionalidade, neste caso inversa. Hai centros nos que en 1º xa se traballan os dous tipos, noutros esperan a 2ª para introducir a inversa.

• Exemplo 8:(Xeometría) A figura da dereita é unha grella 3x3 con cadrados sombreados no bordo. Cantos cadrados sombreados tería o bordo dunha grella 50x50?

  

  Ambiguo...

Aínda que fala dunha figura xeométrica, o problema tamén pode ser entendido como de recoñecemento dun patrón; a solución que dea o alumno dependería da súa historia de aprendizaxe. A min gustaríame máis (para un dos meus exames) preguntar polo número de cadrados non sombreados.

• Exemplo 9: (Estatística e Probabilidade) A táboa amosa as conexións de teléfonos móbiles en Finlandia en 1990, 1995 e 2000

Statistics Finland

Cal foi a porcentaxe de incremento nas conexións entre 1995 e 2000? Dá a túa resposta aproximada ao enteiro máis próximo.

Neste caso tampouco queda moi clara esta asignación ao bloque de Estatística. Por outra banda, o exercicio é usual nas aulas de 1º de E.S.O.

• Exemplo 10:(Álxebra) Resolve a ecuación $6x-2=4x+7$

En case todos os centros que coñezo (que non son poucos) as ecuacións de 1º grao danse en 1º de E.S.O., con diferenzas na dificultade das mesmas, chegando como mínimo a ecuacións como a deste exemplo nalgúns casos, noutros ata ecuacións con parénteses ou incluso ata ecuacións con denominadores.

Antes de darvos as porcentaxes de acerto, imaxino que observariades que as opcións están ben escollidas, é dicir, desde o punto de vista do alumno están pensadas para "coller". Por exemplo, no da capacidade e a froita vemos como xogan coas unidades ademais de coa fórmula do volume; no do monomio cos erros tradicionais $\small{(xy)^n=xy^n}$ e $\small{x^n=n \cdot x}$; no da proporción concentrado/auga co feito de non calcular o volume total da mestura... En conclusión, o que facemos todos os profesores, incluídos os que non fomos a seminarios organizados polo Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) sobre elaboración de items nos que se dixeran principalmente obviedades.

Pero veña, aos números:

Exemplo	Porcentaxe
1	81%
2	56%
3	22%
4	39%
5	11%
6	91%
7	59%
8	41%
9	18%
10	69%

Recoñecede que non era o que esperabades antes de ler este post. Quizais os que crían (coma min) que o ensino en Finlandia está centrado no tanxible e na resolución de problemas verían o 39% no exemplo 4 como esperable, pero que me dicides do 22% no exemplo 3? E do 18% no 9? O 41% no da grella tampouco é para botar foguetes...

A ver se atopo máis probas liberadas do sistema finlandés que quedei coas ganas de saber máis.

Divertimento xeométrico(2)

Van máis de dous anos desde que publicara por aquí un divertimento xeométrico. Para rematar o ano, se tedes folgos para pensar un anaco, velaquí tedes un problemiña ben simpático.

A figura foi creada por Bruno Ernst, matemático e artista neerlandés que é coñecido por crear ilusións ópticas ademais de divulgar a obra de M.C. Escher. O título que lle deu, moi acaído, é "Pitágoras en triángulos regulares".

Collede un triángulo calquera e un punto no seu interior. Trazade as perpendiculares aos lados desde ese punto. Con base os seis segmentos que se determinan nos lados, erguede seis cadrados, e pintádeos alternativamente de gris e negro. Sucede que a área total gris e a área total negra son iguais.

Mirade o debuxo, que é máis sinxelo:

Se fose o circuncentro non había moito que pensar...

Déixovos co problema, vémonos seguramente o ano que vén.

Anumerismo nas "élites"

"Cada aparato kindle, o e-book, o de libro electrónico existente en Francia, compra una media de 4,6 libros al año. En Italia, país con fama de no muy honrado, son 4,4 los que adquiere legalmente cada usuario. En España, el porcentaje es de 0,6"

Tirado de Las Bandas de la Banda Ancha, escrito por Javier Marías en El País Semanal

O artigo de Javier Marías continúa coa habitual diatriba contra as novas tecnoloxías desde a perspectiva do copyright e os dereitos de autor, onde confunde, como é usual, os dereitos de autor cos dereitos ao lucro, a copia física coa copia privada, e a ferramenta co seu uso. Pero non quero falar hoxe dese tema(nunca me resultou interesante) senón que quero salientar a barbaridade que hai nese breve parágrafo. Se non a vistes, pensando que ía centrarme nos dereitos de autor, lédeo agora buscando desde o punto de vista matemático.

En efecto: porcentaje. Aínda que o culto lector xa o sabe, sinto a necesidade de lembrar sucintamente que é unha porcentaxe:

Como todo o mundo sabe, o sistema numérico que utilizamos acotío é posicional e baseado no número 10. Isto provoca que as contas nas que intervén o número 10 e as súas potencias sexan especialmente sinxelas (e tamén nas que aparecen o 2 e o 5). E tamén que as fraccións $\small{\frac{a}{b}}$ teñen varios significados, todos eles interrelacionados:

• En primeiro lugar unha fracción $\small{\frac{a}{b}}$ indica que partimos certa cousa (chamada unidade) en b cachos iguais e tomamos a deses cachos.

Moi orixinal

• Por outra banda a fracción $\small{\frac{a}{b}}$ indica unha razón, é dicir, unha relación entre magnitudes; por exemplo, se facemos 200 quilómetros en 4 horas, a fracción $\small{\frac{200}{4}}$ significa...(déixase como exercicio para o lector)

• Por último $\small{\frac{a}{b}}$ é un número (racional, para máis inri), e como tal ten unha representación na recta real (e ademais, sinxela de atopar grazas a Thales)

Un terzo, dous terzos...

Se unimos á utilidade obvia das fraccións o feito de que o noso sistema fai máis sinxelo traballar con potencias de dez, veremos que as fraccións con denominador 10, 100, ...teñen que ser axeitadas.

Pois chegamos por fin: as fraccións con denominador 100 chámanse porcentaxes, e a súa notación é universal:

$$\frac{25}{100}=25\%$$

Entón... que significa no parágrafo do comezo "el porcentaje es de 0,6" Que porcentaxe? Onde hai unha ratio con denominador (ou consecuente) 100? Por que isto cheira a que calquera dato relativo, calquera ratio... podería ser chamada "porcentaje" polo autor, reputado escritor por outra parte?

Sei que manteño unha opinión que non está moi de moda, pero eu estou de acordo co artigo The Two Cultures de C.P. Snow. E tendo en conta o affair Sokal, a miña (polémica) aposta é que, mentres os da outra beira da cultura non fagan un esforzo, esta división vai permanecer.

Onde o autor recoñece a súa ignorancia

Saúdos de novo a todos os meus lectores (a todos vós, os catro) despois destas semanas de exames e avaliacións.

Rebotando dunha web a outra cheguei (outra vez) ao blogue de John Baez, físico-matemático na universidade de California. O seu blogue, Azimuth, é unha fonte inesgotable de marabillas, tanto matemáticas como doutros campos da ciencia. Teño que avisarvos que hai que ir preparado para atopar explicacións de certo nivel sobre os conceptos que trata. Aínda que non é necesario, ás veces, entender para marabillarse. John Baez ten outro blogue, Visual Insight, encamiñado por completo a amosar visualizacións que axuden a comprender conceptos avanzados das Matemáticas.

(John Baez é recoñecido como o primeiro blogueiro matemático polo seu vello blogue, This Week's Finds in Mathematical Physics, que editou desde 1993 ata o 2010, e tamén é co-editor de N-Category Cafe, ao que non recomendo ir se non vos van as categorías e o abstract nonsense)

Como dicía, caín casualmente no blogue de John Baez, e quixo o azar que o último post naquel momento era Rolling Hypocicloids, e nel aparecía a animación coñecida como Par Tusi:

Só se o radio da grande é o diámetro da pequena...

Ao ver outra versión da animación que incluín no último post deste blogue tiven que acabar de ler o seu texto. E quedei abraiado ao descubrir que o nome "Tusi" non era arbitrario, como asumira eu inconscientemente, senón que facía mención ao astrónomo persa do século XIII Nasir al-Din al-Tusi, quen describiu este dispositivo como explicación do movemento aparente dos planetas. Mirade que fermosura de diagrama podemos ver na wikipedia, uns cantos anos antes da existencia dos applets e o Geogebra:

Sen animación non queda outra que utilizar figuras
 estáticas, neste caso cuartos de volta

E por se non fora suficiente demostrar así a propia ignorancia, atopei no boletín de quora (unha web de preguntas e respostas) un problema aparentemente inofensivo pero que aínda non foi derrotado:

Se $\small{2^x}$ e $\small{3^x}$ son números enteiros, é necesariamente x enteiro tamén?

Curiosamente onde vin este problema tamén comentaban que se impoñemos ademais que $\small{5^x}$ sexa enteiro, entón si que está probado que x ten que ser enteiro (polo visto foi o prolífico teórico de números Serge Lang o primeiro que o amosou, nun volume sobre funcións meromorfas)

Xa está ben de deixar ver o que un non sabe; no vindeiro post volverei ao papel usual de profesor.

Ilusións de rotación

Nos últimos tempos apareceron pola rede unhas animacións que, a simple vista, non teñen nada extraordinario:

A gran cousa, unha circunferencia dentro doutra?

Ata que revisamos ben o que está a suceder:

De Mighty Optical Illusions

Cada punto, individualmente, segue unha traxectoria rectilínea que coincide cun diámetro da circunferencia maior. Os 8 puntos tomados en conxunto dan a impresión dunha circunferencia coa metade de diámetro rotando dentro da grande.

Pois ben, no concurso das mellores ilusións ópticas deste ano un dos finalistas, Tusi or not Tusi, xogaba coa idea de crear este efecto dunha circunferencia xirando a partir de puntos en liñas rectas e tamén co contrario. Ide aló e comprobádeo, que a ilusión aparece nunha animación en flash e non hai vídeo.
Do que si que hai vídeo é do gañador da mellor ilusión do ano, Rotación xerada mediante Translación:

Outra vez coa mesma idea dos aparentes círculos temos a seguinte, que polo menos eu vexo mellor se fixo a vista no centro da imaxe:

Do blogue de Richard Wiseman

Como apuntaban naquel blogue, o efecto é semellante ao dos puntos que, seguindo traxectorias verticais, crean globalmente unha onda horizontal:

Tirado da web deste instituto

Xa tedes para manter o mareo durante uns días. Eu vou tentar simular algunha das ilusións co Geogebra, a ver se teño éxito.