Un fracaso de clase

   

Hoxe comecei a unidade de Probabilidade en 3º de ESO. Os que desen algunha vez na ESO saberán que isto implica cambios na orde habitual das unidades, pois Estatística e Probabilidade é o último bloque e non é raro que nin se chegue a el. Pois ben, esta é a crónica dunha clase que non funcionou. Quen sabe se a idea, non moi orixinal, pode servir a algún compañeiro.

Teño por costume na ESO comezar todas as unidades do xeito máis informal que dou atopado, propoñendo problemas que poidan ser susceptibles dun ataque intuitivo, pero que ao final da unidade teñamos ferramentas para resolver de xeito "canónico". Deste xeito, non é estraño que nas miñas clases propoña un problema de divisibilidade antes de falar de múltiplos e divisores co gallo de introducir o marco no que imos traballar e tamén para contrastar co final da unidade, cando os alumnos teñan aprendido os novos métodos.

Seguindo esta tradición, a miña idea era comezar a unidade de Probabilidade facendo preguntas para facer agromar as intuicións e a linguaxe informal que usan os alumnos neste contexto. Despois dunha pequena introdución sobre a praga das casas de apostas, onde un alumno discutiu o feito de que a ludopatía existise( isto non contribuíu desde logo ao ambiente da clase e tiven que apelar á DSM-V, o que xa me levou tempo e humor), presentei a seguinte imaxe:

Rigorosamente na lingua permitida polo decreto 79/2010

Non é a primeira vez que fago unha actividade semellante, aínda que desta volta lembrei a idea pescudando nos materiais do grupo epiSTEMe da universidade de Cambridge. Se botades unha ollada á lección proposta sobre Probabilidade, veredes que hai un feixe de ideas interesantes, mais pouco susceptibles de levar a unha aula con columnas de dúas mesas, polo que fun realista (ou resigneime a iso, como desexedes) e só pensei en levar este starter. A mecánica é sinxela: os alumnos teñen que facer unha estimación rápida sobre algúns experimentos e suscesos propostos polo profesor. Para non complicar as cousas e non introducir a confusión co feito de que os experimentos non fosen obviamente aleatorios, optei por non coller datos do IGE(nunha xornada de formación hai como 10 anos argumenteille á relatora xusto isto para non utilizar indicadores galegos en probabilidade). E restrinxín os experimentos ao lanzamento de moedas, dados, e á colocación ao chou de xente en ringleira. Máis ou menos, e non sei en que orde, foron:

No lanzamento de dúas moedas, A="saen dúas caras", B="saen resultados iguais nas dúas",C="sae polo menos unha cara"; no lanzamento dun dado, D="sae un 5"(pensando no parchís), E="a cara superior e a inferior suman 7"(tirada dos devanditos materiais); na colocación de tres persoas A, B e C en ringleira, F="A e B van seguidos en calquera orde"

Insistín en que tiñan que estimar onde colocar na escala de máis arriba os sucesos máis ou menos a ollo, imaxinando que se observaban moitas veces eses experimentos. Pois ben, vaiamos aos puntos nos que fracasou o plan:

• O primeiro, esencial, e imponderable: á maioría non lle interesou a actividade. Isto por si mesmo xa invalidaría todo o demais, con certeza.
• Para continuar, houbo alumnos que non entenderon a mecánica. Algúns agardaban que eu lles dixese onde colocar as letras.
• Por outra banda, houbo alumnos que non estimaron, senón que calcularon de modo exacto a probabilidade en varios dos sucesos, polo que esta actividade xa lles quedaba pequena(mixed ability classes, chámanlle no mundo anglosaxón). Con isto certamente non contaba, aproveitei para valorar esa capacidade sobre a marcha.

Tiña pensados máis sucesos e experimentos, mais nin houbo tempo material nin vin a oportunidade axeitada.

Agora que xa fixen terapia, en que lugar do segmento poríades vós o suceso "os alumnos prefiren que lles dea unha clase de definicións/propiedades/exemplos"? 

Por sorte, hoxe tamén tiven unha clase de introdución ao M.C.D. e o m.c.m. en 1º de ESO e unha de introdución ás Ecuacións e Inecuacións en Matemáticas I, onde expliquei a fórmula da solución da ecuación de 2º grao por petición de moitos alumnos e vin certo éxito nas Fórmulas de Cardano-Vieta. Se chego a ter dúas clases consecutivas de 3º de ESO non sei que sería de min.

Outro problema estupendo para 1º de ESO

    

Este ano, ao deixar a xefatura de estudos, estou a dar outra vez 1º de ESO(e 3º e 1º de bacharelato-este vai ser un ano entretido). Unha das vantaxes que ten dar ese curso, ademais das obvias, é que podes propoñer problemas e cuestións voluntarias, que seguro que vas ter resposta de moitos alumnos. Só é necesario usar un anaco dunha clase e ter creatividade e tempo para inventar problemas ou, como é o meu caso, ter boas referencias na rede. E unha das mellores é a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, da que xa teño tirado problemas a esgalla neste blog.

O outro día propuxen este problema da 2ª fase da OBMEP, nivel 1(6º-7º graos), do 15 de setembro:

O sapinho da figura pula de uma pedra para uma pedra viziña, dando voltas em torno do lago. Por exemplo, se ele pular duas vezes a partir da pedra A, no sentido horário, ele vai parar na pedra C.

1. Partindo da pedra A, em qual pedra o sapinho vai parar após pular 15 vezes no sentido horário?
2. Novamente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 2018 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8. Em qual pedra ele vai parar?
3. Finalmente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 810 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8 ou um múltiplo de 12. Em qual pedra ele vai parar?

Este era o problema orixinal, engadín entre a e b o mesmo exercicio que o a pero con 1000 pulos, podedes imaxinar a razón.

O xenial deste problema reside en que, aínda que domines os rudimentos de números naturais e divisibilidade aprendidos na aula, vas ter que reflexionar antes de resolvelo; e o que é mellor, vas ter que experimentar coas condicións para entender que está a pasar.

E algo que non vaticinara, pero que tamén resultou moi interesante, foi a discusión dunha solución que non era correcta. O dito, este ano vai ser un bo ano.

Nada cambia no ensino das Matemáticas, non si?

     

Xa sabía da rede de información educativa do Ministerio de Educación, Redined, hai ben tempo. E xa fixera algunha pescuda, cuxos froitos seguramente estean perdidos nalgún cartafol dun disco duro ou pen drive. Mais desta volta, ao utilizar como termos de busca "problemas matemáticos", "resolución de problemas" e variacións semellantes, cheguei a uns documentos que cambiaron as miñas pre-concepcións sobre o ensino en España nos anos 50/60. 

O primeiro documento que atopei foi "Problemas Matemáticos para el curso Preuniversitario (1957-58)", dividido en dous pdfs, cada un con 250 problemas(parte 1, parte 2). Como xa teño comentado(p.ex.), teño certa querenza por estas coleccións, polo que mergullei nos documentos en canto os descarguei. Sendo coñecedor de que a mal chamada Matemática Moderna chegara aos planos de estudos con data posterior a 1957, xa contaba con que os problemas fosen ben diferentes aos actuais de 2º de bacharelato(ou aos que aprendín eu en COU), mais non agardaba o que atopei, que podemos clasificar de xeito superficial polos temas tratados:

• Problemas aritméticos (anticuados) de cartos, fontes, móbiles, aleacións, mesturas, reloxos
• Divisibilidade elemental
• Exercicios sobre o sistema de numeración decimal
• Polinomios, fraccións alxébricas e ecuacións polinómicas, Cardano-Vieta
• Ecuacións e sistemas
• Progresións
• Límites
• Capitais, intereses, réditos, etc.
• Binomio de Newton
• Logaritmos
• Problemas xeométricos planos, métricos e de construción
• Problemas xeométricos sólidos, incluíndo cálculo de volumes e áreas de revolución
• Problemas de optimización sen contexto ou con contexto xeométrico
• Números complexos
• Estudo de curvas correspondentes ás gráficas de funcións reais
• Cálculo de derivadas
• Reconto combinatorio e probabilidade asociada
• Resolución de triángulos
• Problemas de latitude e lonxitude, problemas métricos na superficie da Terra
• Demostracións por indución
• Discusión de sistemas lineares con 3 ecuacións e 3 incógnitas(dous ou tres exercicios)
• Ecuacións trigonométricas
• Sistemas de inecuacións(nalgún caso xunto con ecuacións)

Non creo que deixase fóra moitos temas, e aínda que fose así, esta listaxe xa deixa ben clara unha idea: o PREU viña sendo un tour de force pola cantidade de contidos tratados, mais case todos de escasa sofisticación matemática. Ata o punto de que hai exercicios que se facían cando estudei eu en 7º ou 8º de EXB. O que si é certo, e xa o osmaba, é a profundidade coa que se estudaba a xeometría sintética, tanto plana como espacial, mentres que a xeometría analítica estaba en estadios inferiores ao estudo propio do BUP. Por outra banda, vin moitos problemas que mesturaban de xeito case aleatorio contidos de distinta natureza. Un exemplo témolo no ítem 352:

Hacer la multiplicación de los números complejos $(A+Bi) \times (C+Di)$, siendo:

$A=Log_{ \sqrt{2} \ }{0,5}$

B= La característica del logaritmo decimal de 0,0732

C=La fracción generatriz del número decimal periódico mixto 1,1666...

D=La probabilidad de que al lanzar tres monedas simultáneamente resulten las tres caras

Isto, na miña humilde opinión, non é un problema senón un exercicio enleado, principalmente porque en canto un le o enunciado, é obvio que hai que facer(saiba ou non facelo). Só vexo axeitado utilizar este tipo de exercicio como repaso despois de traballar varios contidos, porque como ferramenta de avaliación pode dar resultados confusos: se estamos a avaliar o produto de complexos en forma cartesiana, podemos quedar coas ganas se o alumno non sabe facer un dos cálculos previos.

A sensación que deixan os 500 problemas anteriores vese corroborada noutro documento que atopei, "Prácticas de Matemáticas", aparecido na Revista de Educación en 1955 e cuxo autor foi Francisco Bernardo Cancho. O documento vai dirixido tamén ao traballo no PREU, e propón exemplos de tarefas a realizar. Observade:

Un prado, de forma triangular, se divide en dos partes por la paralela a uno de sus lados, que descompone a la altura relativa al mismo en la razón $\frac{2}{3}$. Si cinco hombres  han segado en ocho días la hierba de la parte menor, ¿cuántos días tardarán catorce hombres en segar la parte mayor, si siete de éstos siegan como cinco de aquéllos?

Como curiosidade, a solución do autor utiliza unha regra de tres composta con catro magnitudes...

Máis adiante propón un exercicio completamente técnico pero que chama a atención polo inusual(cun feixe de erratas no enunciado):

En la expresión

$\left(x^4-x^3+x^2-x+1-\frac{2}{x+1} \right) \cdot \left(x^4+x^3+x^2+x+1+\frac{2}{x-1} \right)$

se pueden suprimir las fracciones sin que se altere el producto. Explíquese esta particularidad.

Se alguén ten interese na lei que deu lugar á creación do curso Preuniversitario, velaquí á ligazón ao BOE. Déixovos o irrisorio (para os estándares actuais) artigo 1:

"La Enseñanza Media es el grado de la educación que tiene por finalidad esencial la formación humana de los jóvenes y la preparación de los naturalmente capaces para el acceso a los estudios superiores"

Un problema de Marilyn Vos Savant (non Monty Hall)

Debo de ter na cabeza un par de ideas roldando, pois aínda que o tema do novo problema non ten nada que ver co truco de cartas da anterior entrada, o subxacente no que reparei é o mesmo. Observade.

Achei este problema nun libro de Paul Nahin, Number crunching. Taming unruly computational problems from Mathematical Physics to Science Fiction, a priori non demasiado útil nin interesante para as miñas clases; polo que foi unha sorte atopar este enunciado cunha parte tratable nas aulas. Ao choio:

Un amigo e máis eu fomos da súa casa á miña cunha bicicleta. Eu comecei andando e el na bici.  Cando el xa levaba un par de bloques, deixou a bici na beirarrúa e seguiu andando. Cando cheguei á bici, montei nela, pasei ao meu amigo, e despois dun par de bloques, deixei a bici na beirarrúa. Cando el chegou á bici, montou nela outra vez. Fixemos isto todo o tempo do camiño. Ás veces, un montaba en bici; outras, os dous estabamos andando ao mesmo tempo. Eu estou certo de que este proceso foi máis rápido que se os dous estivésemos andando, pero algunha xente insiste en que non é máis rápido porque sempre hai algún dos dous andando. Quen ten razón?

Nahin comenta que o problema apareceu na columna Ask Marilyn na revista Parade. Non é Monty Hall nin o problema segundo irmán, mais é ben fermoso. Dádelle unha volta, a ver que vos parece.

O mellor truco de cartas

Facendo unha pescuda polos arquivos dun disco duro atopei un artigo titulado "The best card trick", que polo visto descarguei aló polo 2006(hai 3 institutos!), que explica un truco que ata esta semana non sabía que era coñecido como Fitch Cheney's Five Cards Trick, en honor ao mago que o introduciu, e que acadou popularidade grazas ao libro Math Miracles de Wallace Lee(Telephone Stud, páxina 49).

O comezo do artigo segue a resultar tan intrigante como a primeira vez que o lin, polo que pensei en traer aquí o seu contido. Ao poñerme a escribir, fixen unha busca na rede e achei que en NRICH xa comentaran o truco, non enlazo os vídeos que fixeron alí porque non están colgados nunha das plataformas habituais.

En que consiste o truco? O xeito tradicional vai así: un voluntario colle cinco cartas dunha baralla, e entrégallas ao asistente. Este escolle unha carta das cinco, déixaa tapada e coloca as catro restantes á vista do mago, quen finalmente adiviña deduce a carta cuberta.

E por que gardei este artigo todos estes anos? Pola explicación voluntariamente trabucada do comezo de por que este truco é imposible. Xulgade vós:

O asistente amosa 4 cartas ao mago, polo que a 5ª carta, que hai que adiviñar, pode ser calquera das 48 restantes da baralla(francesa, que aínda non o dixera). Pero 4 cartas só poden ser ordenadas de 4!=4·3·2·1=24 xeitos, o que provoca que as ordenacións só poderían codificar 24 cartas, non 48.

Ide pensando en cal é o erro deste razoamento, mentres observades este vídeo, no que Brian Brushwood, da canle Scam School, fai o efecto (e inclúe a explicación en 1:11)

Vistes xa cal é o erro da "demostración" da imposibilidade?

Aínda non?

Queredes un anaco máis para pensar? Espazo cortesía de Randall Munroe:

Complex Numbers 

Agora si, imos ao choio: o erro está en que en realidade non hai 4 cartas a escoller para transmitir a mensaxe de cal é a 5ª: hai que incluír a 5ª carta, que tamén é unha escolla do asistente. E tendo en conta que nunha baralla hai 4 paus, é obvio que haberá dúas cartas do mesmo pau(instancia sinxela do Principio do Pombal ou Dirichlet). O asistente colocará de 1ª carta visible unha co mesmo pau que a oculta. Co cal as opcións para a carta que hai que deducir son só 12(na baralla francesa hai 13 por pau), e as permutacións das 3 restantes son 3!=6, polo que aparentemente aínda non parece posible o truco. O que indica que hai que pensar algo máis que facer coas dúas cartas do mesmo pau.

Se visualizamos as 13 cartas dese pau en círculo, sempre podemos "sumar" pola circunferencia un número do 1 ao 6 a unha das cartas e obter a outra. Por exemplo, se as cartas son o 4 e o 10 dun pau:

No outro sentido serían 7 pasos

Agora só queda atopar un xeito de que as 3 cartas restantes poidan codificar os números do 1 ao 6. Unha posible elección é usar a orde alfabética nas cartas(en inglés, clubs, diamonds, hearts and spades)combinada coa ascendente dos números, aínda que entre magos hai unha orde máis habitual, coñecida como CHaSeD. Entre as 3 cartas haberá unha co menor valor(l), unha co valor intermedio(m) e unha co maior(h), só hai que atribuír os números do 1 ao 6 a unha das permutacións, por exemplo do seguinte xeito:

l-m-h=1
l-h-m=2
m-l-h=3
m-h-l=4
h-l-m=5
h-m-l=6

Curioso, non si? Agora só necesitades un asistente e xa podedes deixar abraiados aos colegas.


Nota: Polo visto todo o mundo publicou un artigo sobre este truco, non só NRICH. Buscando o pdf do artigo do Mathematical Intelligencer tamén vin unha entrada en Futility Closet, que non lera no seu día, chamada The Fifth Card. Se buscades por Fitch Cheney's  Five Card Trick, Fifth Card, etc., acharedes miles de entradas similares, eu descubrín deste xeito unha nova referencia con problemas interesantes, Matheon Kalender.