Teorema de Conway

Ás veces un atopa feitos matemáticos inesperados de indubidable beleza. Habitualmente, a un nivel preto da terra, estes feitos aparecen na xeometría (euclidiana) ou na teoría de números. Xa vai certo tempo que non atopo ningunha propiedade numérica que me deixe alucinado, quizais sexa porque as máis sorprendentes son de dominio público (no mundo dos que estudamos Matemáticas, quero dicir).
Hoxe estaba a ler os blogs do meu Google Reader cando este teorema saltou á vista, tan sinxelo, tan elegante:

Se continuamos os lados dun triángulo alén de cada vértice unha distancia igual á lonxitude do lado oposto, os seis puntos resultantes están na mesma circunferencia, chamada Circunferencia de Conway.
Como o enunciado anterior non é un exemplo de claridade, mellor ollar o debuxo, que amosa un exemplo no que o triángulo ten por lonxitudes as medidas 3-4-5:

A pregunta obvia é: Por que están na mesma circunferencia?
A segunda pregunta obvia é: Cal é o centro desa circunferencia?

Se un contesta a primeira, automaticamente obtén a resposta para a segunda. Como adoita suceder en "teoremas rápidos" da xeometría, é dicir, en enunciados sinxelos sobre figuras que aparecen de xeito natural sobre triángulos, circunferencias, etc., a sorpresa mitígase cando un entende o feito subxacente. É unha pequena maldición que as Matemáticas reservan a aqueles que chegan a entender.