Cousas curiosas dos números-2

Mentres escribía antonte o post Anumerismo-2, ao ver o primeiro Anumerismo, lembrei que hai certo tempo (así como un ano) escribira sobre un dos temas que máis me gustan dentro das Matemáticas elementais: as curiosidades numéricas. E que naquel post, Cousas curiosas dos números, prometera continuar a lista de curiosidades alí presentadas con propiedades numéricas non tan básicas ou inmediatas. (Por certo, naquel post agora hai unha morea de código LATEX non traducido debido a que o Render que utilizaba daquela non está activo)

Así que hoxe vou amosar un par de curiosidades máis:

• O número 1089.

E que ten este número de peculiar? Dándolle un par de voltas vemos que é 33², o cal non é moi extraordinario, tendo en conta que por cada número natural temos un cadrado perfecto. Para atopar o que fai destacar a 1089 hai que mergullarse moito máis nos números.

• Collamos un número calquera de 3 cifras, non todas iguais. Por exemplo, 327. Agora deámoslle a volta, para obter 723. Restemos o menor dos dous números do maior, 723-327 = 396. Falta pouco xa, só darlle a volta a este número tamén, 693, e sumar estes últimos números, para obter: 396+693= 1089. E que cheguemos a 1089 non é casual, sucede independentemente do número de 3 cifras co que comecemos. Probemos con outro número, p.ex. 715. Dámoslle a volta, 517. Restámolos, 715-517=198. Dámoslle a volta (one more time), 891. Sumámolos, 198+891=1089. Probade con outro número calquera de 3 cifras, non todas iguais, e chegaredes irremisiblemente a 1089.

• A constante de Kaprekar, 6174.

É inevitable pensar na constante de Kaprekar despois de falar de 1089. Pois aparece despois de executar un algoritmo ata certo punto semellante. Neste caso empezamos con calquera número de 4 díxitos, non todas iguais. E imos facer varias levar a cabo este proceso: construímos dous números con esas 4 cifras, o maior posible e o menor posible. Despois restamos o menor do maior. E volvemos construír os dous números coas 4 cifras... Como é habitual, mellor cun exemplo, collido ao chou, 4372

• 7432-2347=5085
• 8550-0558=7992
• 9972-2799=7173
• 7731-1377=6354
• 6543-3456=3087
• 8730-0378=8352
• 8532-2358=6174 (non era sen tempo)

Ás veces ao procedemento lévalle un bo anaco chegar ao 6174. Así que se queredes comprobar algún número, é boa idea utilizar unha calculadora online coma esta.

• A suma dos primeiros números impares.

Esta propiedade aparece tradicionalmente como exercicio nun primeiro curso sobre progresións aritméticas, pero a maquinaria alxébrica (intimamente relacionada coa propiedade de que a diferenza entre n² e (n+1)² é o impar 2n+1) que é utilizada nese momento obvia o realmente interesante do feito, que salta á vista:

• 1
• 1+3=4
• 1+3+5=9
• 1+3+5+7=16
• 1+3+5+7+9=25...

Obvio, non? A suma dos primeiros n impares é n². Pero tódolos que a coñecen estarán de acordo comigo: o realmente interesante está na seguinte figura:

Vanderbilt University

• O método ruso de multiplicación.

Para mutiplicar dous números é suficiente facer dúas columnas, na da esquerda ir duplicando o primeiro e na dereita partindo á metade o segundo, ata chegar a 1 (se ao partir á metade non obtemos un número exacto, quedámonos co cociente). Despois tachamos tódalas ringleiras nas que o número da segunda columna sexa par e sumamos tódolos números que queden na columna da esquerda; o resultado final será a multiplicación buscada. Como nin eu entendo o que acabo de escribir, vexamos un par de exemplos:

17·12

• 17 - 12
• 34-6
• 68-3
• 136-1

Sumamos 68+136=204, que é 17 · 12.

Outro, 25·132:

• 25-132
• 50-66
• 100-33
• 200-16
• 400-8
• 800-4
• 1600-2
• 3200-1

Sumamos 100+3200=3300=25·132

Por que funciona este método? Pois sinto dicir que para entendelo algo de coñecemento sobre a notación binaria. E ese tema non aparece en ningures no programa de Matemáticas da E.S.O. nin do Bacharelato.

Por hoxe abonda, supoño que algún día nun futuro indefinido farei outro post de curiosidades numéricas.