(Outra vez) Problemas de Álxebra sen ecuacións

Velaquí outra quenda nesta xeira de problemas que só me interesan a min (10/2014, 11/2014, 2015, 4/2023)

Explico de que vai o conto, por se alguén aínda non vira ningunha entrada destas: a idea é compartir problemas ou exercicios nos que sexa necesario ou axeitado utilizar álxebra para chegar á solución, e que nesa resolución non sexa esencial (ou polo menos non o máis interesante) resolver unha ecuación. Nalgún dos problemas que foron aparecendo nesta serie si hai que resolver unha ecuación, pero o interesante e difícil viña antes. Un exemplo dentro do curriculum sería o tradicional exercicio no que se dan condicións sobre un número de dúas cifras, e hai que utilizar que $ab_{10}=10a+b$. O máis interesante é traducir o sistema de numeración á linguaxe alxébrica, normalmente a ecuación posterior é rutineira. De feito, nese tipo de problemas, como as variables só poden tomar 10 valores(as cifras), cunha condición do tipo "as cifras suman 7" acabas antes probando que facendo todo o choio alxébrico.

Fedellando en vellas coleccións de problemas que gardo polo disco duro, dei con algún problema máis que require de habilidade alxébrica, ou ben no aspecto da tradución ou ben no da manipulación. O 1º, este do concurso de principiantes de Austria de 2014:

Sexan $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a<b<c<d$. Ordena de xeito crecente os números $x=ab+cd, y=bc+ad, z=ca+bd$ e proba a corrección do teu resultado.

O seguinte problema tíñao gardado hai anos no Read Later de Feedly, fora compartido no blog de Dimates, procedente do Marató de problemes. Xa adiviñades vós de que ano:

A unha proba de aptitude preséntanse 2019 persoas, 995 mozos e 1024 mozas, e exactamente 1234 superan a proba. Atopa o valor de A - B, sendo A o número mozas que superaron a proba e B o número de rapaces que non a superaron.

Nesta cuestión hai algo subxacente que me interesa especialmente: que significado ten ese invariante, A-B? Nunca estivestes no medio dun cálculo alxébrico, atopando un valor, demostrando un resultado, etc., e de súpeto pensastes "Pero que significa isto"?

Ah, e é máis que probable que para resolver con álxebra o problema, vaiades usar unha ecuación, ou, se queredes, unha igualdade. Lembrade que a etiqueta "sen ecuacións" hai que interpretala con laxitude.

E para rematar, un problema dunha familia ben tradicional:

No encerado están escritos os números 2, 3 e 6. Podes reemprazar dous dos números, poñamos a e b, polos números $\frac{3a}{5}+\frac{4b}{5}$ e $\frac{4a}{5}-\frac{3b}{5}$. Amosa que é imposible que apareza un número maior que 7 no encerado.

Ata aquí. Vémonos seguramente en 2024.