Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final 5

Chegamos ao último problema da Olimpíada deste ano , que acertadamente entrou no terreo da Estatística.

Problema 5

Nun proxecto científico participan 3 especialistas en Física e 2 en Matemáticas que teñen por idade(ordenada de maior a menor) 64, 52, 48 anos e dous bolseiros de 28 anos.

1. Calcula a idade media dos membros do proxecto.
2. Sabendo que a idade media dos especialistas en Física é maior de 47 e menos de 50 anos, calcula a idade media dos de Matemáticas.
3. O equipo quere presentarse a unha importante axuda que ofrece a Unión Europea. Nas bases da dita axuda, os equipos deben constar de 6 persoas con perfil multidisciplinar, nos que figuren especialistas en Matemáticas, Física e Bioloxía, coa condición engadida de que a idade media dos membros ha de ser menor de 41 anos. Que idade poderá ter como máximo a nova persoa que necesitarán contratar?

Obviando a primeira pregunta, que funciona como introdución, o segundo apartado admite achegarse mediante proba-erro (a fin de contas, só hai 10 xeitos de escoller 3 científicos dos 5); mais coido que os cativos asistentes tentarían axustar antes o ámbito de pescuda.

E o terceiro apartado merece unha mención á parte: o problema pode ser resolto cunha ecuación (inecuación máis adiante na ESO) na que plasmemos a idade de que a media dos 6 membros sexa exactamente 41. Mais tamén pode ser resolto sen Álxebra se a idea de media foi ben entendida nas aulas. Isto paréceme especialmente axeitado para valorar a resolución de problemas.

Aínda que xa fun deixando a miña opinión nesta xeira de problemas da Fase Final da Olimpíada Matemática Galega, quero que sexa patente: os problemas foron axeitados ademais de fermosos, tanto desde a perspectiva das Matemáticas como do ensino. O único que achei en falta foi algún problema xeométrico, que a este nivel podería tratar con visualizacións en 3 dimensións (como o do cubo da Fase Local), pois a Xeometría Métrica en 2º de ESO está demasiado vinculada ao Teorema de Pitágoras e o cálculo de lonxitudes, áreas e volumes.


Só resta agradecer a AGAPEMA o traballo feito. Nada máis (por este ano).

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final-4

O cuarto problema da Olimpíada deste ano trataba de números e divisibilidade baixo unha apariencia inocente:

Problema 4

Os aros olímpicos entrelazados determinan 9 rexións diferentes como se indica na imaxe. Encontra 9 números, un en cada rexión, de tal forma que:

• O produto deses números dean, en cada aro, 5 números consecutivos.
• Un deses números consecutivos é o 58.
• Os números non teñen por que estar ordenados de menor a maior.

Collido (outra vez) de AGAPEMA

Para resolveren este problema nun tempo razoable(o método de proba-erro ás toas non sería factible no tempo previsto), os cativos tiñan que ter moi claras as peculiaridades dos números primos. Atendendo ás Matemáticas necesarias para resolvelo, coido que este foi o meu problema favorito desta quenda.

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final-3

O terceiro problema da Fase Final da Olimpíada Matemática Galega introduciu o contexto da cidade romana nun bonito problema de probabilidades.

Problema 3

Na festa da romanización da cidade de Lugo denominada Arde Lucus figura no programa a

seguinte representación:

Plano da Muralla Romana de Lugo, collido de AGAPEMA

“Pola Porta Toledana (ou de San Pedro) entra a V Cohors de lexionarios procedente de Asturica Augusta con dirección a Flavium Brigantium. En cada un dos tres cruces interiores, o 25% dos lexionarios que a el chega sepárase do grupo para protexer unha porta antiga, mentres que o resto segue dirección á Porta Falsa”.

a) Se ao final da representación un turista observa que saíron 54 lexionarios pola Porta Falsa, cantos lexionarios entraron na muralla? Cantos quedaron a defender cada unha das tres portas?

b) Un dos lexionarios fica pasmado mirando a muralla e pérdese do grupo antes de entrar pola Porta de San Pedro. Se unha vez que entra vai elixindo o seu camiño ao chou (escolle aleatoriamente en cada cruce), que sería máis fácil que pasase:

• Que saíse pola Porta Falsa ou pola Porta Nova?
• Que saíse pola Porta Falsa ou pola Porta Miñá?

Aínda que o problema é obviamente probabilístico, o certo é que non precisaba entrar no cálculo de probabilidades para resolvelo, o cal é moi axeitado, pois coido que moitos cativos foron á Olimpíada sen ter traballado probabilidades explicitamente nas aulas (Probabilidade aparece ao final da unidade de Estatística de 1º de ESO, e é habitual que esta unidade vaia ao final das programacións, despois dos bloques de Aritmética-Álxebra, Xeometría e Funcións). O problema podíase resolver simplemente observando e enumerando os distintos camiños que levaban a cada porta.

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final-2

O segundo problema da Fase Final da Olimpíada Matemática Galega do pasado xoves entraba no terreo da busca de patróns.

Problema 2

Ana e Belén deciden xogar a un xogo que consiste no seguinte: En cada quenda,correspóndelle a unha participante (primeiro xoga Ana e na seguinte quenda Belén) engadir as cartas necesarias á pirámide que se ilustra a continuación para crear unha nova pirámide. O xogo termina cando unha das dúas participantes coloca de forma pouco estable unha carta e a pirámide cae. 

Collida do documento de AGAPEMA

1. Expresa o número de cartas que se van colocando nas quendas 2, 3 e 4 sobre as xa existentes. Cantas se colocan na quenda "n"?
2. Se o xogo remata na quenda 10, a que xogadora se lle desfixo a pirámide? Cantas cartas debería ter posto?
3. Expresa o número total de cartas que ten a pirámide nas quendas 2, 3 e 4. Cantas cartas ten a pirámide na quenda "n"?
4. Cantas quendas daría para xogar unha baralla de 500 cartas?

Outro problema ben escollido, sen dúbida os cativos precisaron afinar as súas capacidades alxébricas para atacalo. Como sucedera co 1º problema, coido que ben pode ser proposto nas aulas usuais de 2º de ESO, aínda que sen restricións de tempo.

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final

A versiera de Agnesi, da wikipedia

Como prometera na serie de entradas arredor da fase local da Olimpíada Galega, vou ir comentando os problemas da fase final, que se celebrou en Lugo o xoves pasado, 21 de maio.

A Asociación Galega de Profesorado de Educación Matemática(AGAPEMA) organizou un día de festa tanto para os 40 participantes de toda Galiza como para os acompañantes, que aínda eramos máis que os olímpicos. Resumindo, o día foi así:

Mentres os cativos buscaban o xeito de resolver os 5 problemas propostos, os adultos estivemos a visitar o interesantísimo Museo Provincial de Lugo. Para xantar deron atopado un sitio no que acomodar á centena de persoas (a ollo) que nos xuntamos. E debo dicir que queixa non tivemos. Á tarde os rapaces, organizados en 8 equipos de 5 persoas cada un polo compañeiro Víctor Pollán, resolveron a gymkhana cultural-matemática que os levou a percorrer todos os recunchos da Praza Maior lucense para resolver uns cantos enigmas coa colaboración de catro actores no papel de senllos matemáticos (Hipatia, Tartaglia, María Agnesi e Vicente Vázquez Queipo). Finalmente a cerimonia de entrega de premios e clausura estivo amenizada polo grupo de teatro Microefectos Dramatúrxicos no salón da Deputación Provincial.

Sirva como resumo sucinto o parágrafo anterior. O certo é que eu, que acudía por primeira vez cun alumno a un evento deste estilo, quedei gratamente sorprendido pola atención da organización e pola calidade de todas as actividades propostas. Estou certo de que todos os cativos levan unha boa lembranza da xornada.

Indo aos problemas, tamén houbo unha boa escolla. Por exemplo o 1º:

Problema 1

Na Segunda División xógase o denominado Derby dos Ancares entre o CD Lugo e a SD Ponferradina. Na última edición, contan as crónicas que se viviu un partido espectacular, con gran ambiente nas bancadas e co maior número de goles da tempada, despois do Mallorca 8 - Valladolid 2 da quinta xornada. Abraiou López con 2 golazos aínda que os máis decisivos foron Berrocal da Ponferradina que marcou a metade de goles do seu equipo e Iago Díaz do CD Lugo que foi máximo goleador do partido. Tamén anotaron Castañeda e Paglialunga para o equipo leonés.

1. Xustifica en que equipo xoga López.
2. Cantos goles marcou Iago. Por que?
3. Elabora unha táboa co resultado final e os goleadores de cada equipo.

Un fermoso problema que require moita claridade de ideas para ser resolto, ademais de sentido numérico e boa lóxica. Na miña opinión, é susceptible de ser usado en aulas da ESO para traballar en equipo a resolución de problemas.