Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final-3

O terceiro problema da Fase Final da Olimpíada Matemática Galega introduciu o contexto da cidade romana nun bonito problema de probabilidades.

Problema 3

Na festa da romanización da cidade de Lugo denominada Arde Lucus figura no programa a

seguinte representación:

Plano da Muralla Romana de Lugo, collido de AGAPEMA

“Pola Porta Toledana (ou de San Pedro) entra a V Cohors de lexionarios procedente de Asturica Augusta con dirección a Flavium Brigantium. En cada un dos tres cruces interiores, o 25% dos lexionarios que a el chega sepárase do grupo para protexer unha porta antiga, mentres que o resto segue dirección á Porta Falsa”.

a) Se ao final da representación un turista observa que saíron 54 lexionarios pola Porta Falsa, cantos lexionarios entraron na muralla? Cantos quedaron a defender cada unha das tres portas?

b) Un dos lexionarios fica pasmado mirando a muralla e pérdese do grupo antes de entrar pola Porta de San Pedro. Se unha vez que entra vai elixindo o seu camiño ao chou (escolle aleatoriamente en cada cruce), que sería máis fácil que pasase:

• Que saíse pola Porta Falsa ou pola Porta Nova?
• Que saíse pola Porta Falsa ou pola Porta Miñá?

Aínda que o problema é obviamente probabilístico, o certo é que non precisaba entrar no cálculo de probabilidades para resolvelo, o cal é moi axeitado, pois coido que moitos cativos foron á Olimpíada sen ter traballado probabilidades explicitamente nas aulas (Probabilidade aparece ao final da unidade de Estatística de 1º de ESO, e é habitual que esta unidade vaia ao final das programacións, despois dos bloques de Aritmética-Álxebra, Xeometría e Funcións). O problema podíase resolver simplemente observando e enumerando os distintos camiños que levaban a cada porta.