12.4.15

Atopa o erro

Collamos unha función calquera dunha clase de cálculo de asíntotas de 1º de Bacharelato:

$$f(x)=\sqrt{x^2+x-2}-x$$

Unha función inocente


Como é usual, calculamos o límite no infinito da función. Neste momento o profesor xa sabe que vai dar un número real, pois "no infinito" a raíz dun polinomio de 2º grao compórtase como unha recta; neste caso con pendente 1. Ao choio:

$$\lim_{x \to \infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=$$
Agora vén o ubicuo truco de multiplicar por 1, pero un 1 camuflado na expresión
$$\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{\sqrt{x^2+x-2}+x}$$
Este truco ten o obxectivo de evitar a indeterminación $\small{\infty-\infty}$
As contas:
$$\lim_{x \to \infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=\lim_{x \to \infty}{\frac{[\sqrt{x^2+x-2}-x][\sqrt{x^2+x-2}+x]}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=$$
$$\lim_{x \to \infty}{\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=$$
Agora atacamos a indeterminación $\small{\frac{\infty}{\infty}}$, tamén cun truco recorrente, multiplicar por 1, camuflado desta volta en
$$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$
Entón:
$$\lim_{x \to \infty}{\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=\lim_{x \to \infty}{\frac{\frac{x^2+x-2-x^2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{x}}}=\lim_{x \to \infty}{\frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}+1}}=\frac{1}{2}$$

Ben, por fin: a función ten a asíntota horizontal $\small{y=\frac{1}{2}}$

Pero que sucede en $\small{-\infty}?$

Pois algo totalmente diferente:

O límite da función xa non é un número real senón:

$$\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=+\infty$$
por mor do $-x$ da dereita.

O proceso continúa do xeito común: comparando a función con $x$ en "menos infinito". E sucede o seguinte:
$$\lim_{x \to -\infty}{\frac{\sqrt{x^2+x-2}-x}{x}}=\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{\frac{x^2+x-2}{x^2}}-1]}=$$
$$\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}-1]}=0$$

0? De verdade? Pero a nosa función non tendía a $\small{\infty}?$

Editado o 13 de abril: En realidade hai funcións que tenden a infinito no infinito que comparadas coa función identidade teñen límite 0, a primeira que vén á cabeza é $\small{f(x)=logx}$. No contexto do post si tiña sentido a sorpresa.

Déixovos que expliquedes o erro. Porque erro hai, como vemos na gráfica da función:

Que pinta esa recta oblicua?

Afastemos a gráfica:


E esa rama?

Temos un anaco da gráfica por explicar. É factible explicar o fallo técnico do cálculo previo nunha aula de 1º de Bacharelato? 





2 comentarios:

  1. E se facendo co cambio de x por -x, e calculando o $$\underset { x\rightarrow +\infty }{ lim } f(-x)$$... despois, comparando as expresións, quizais pode ser que haxa alguén que poida enxergar os problemas derivados de facer e desfacer (cadrados e raíces) sen atender ao signo.

    ReplyDelete
  2. Si, co cambio de variable queda moito máis claro, por iso non o usei. Coido que do xeito que puxen as contas é moi complicado que un alumno se decate do erro. Que conste que eu non usei esta función para o cálculo de asíntotas, só para uns límites, que dou en Aplicadas este ano.

    ReplyDelete