Atopa o erro

Collamos unha función calquera dunha clase de cálculo de asíntotas de 1º de Bacharelato:

$$f(x)=\sqrt{x^2+x-2}-x$$

Unha función inocente

Como é usual, calculamos o límite no infinito da función. Neste momento o profesor xa sabe que vai dar un número real, pois "no infinito" a raíz dun polinomio de 2º grao compórtase como unha recta; neste caso con pendente 1. Ao choio:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt{x^2+x-2}-x]=$$
Agora vén o ubicuo truco de multiplicar por 1, pero un 1 camuflado na expresión
$$\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{\sqrt{x^2+x-2}+x}$$
Este truco ten o obxectivo de evitar a indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$
As contas:
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt{x^2+x-2}-x]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{[\sqrt{x^2+x-2}-x][\sqrt{x^2+x-2}+x]}{\sqrt{x^2+x-2}+x}=$$
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}=$$
Agora atacamos a indeterminación $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, tamén cun truco recorrente, multiplicar por 1, camuflado desta volta en
$$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$
Entón:
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{x^2+x-2-x^2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}$$

Ben, por fin: a función ten a asíntota horizontal $y=\frac{1}{2}$

Pero que sucede en $-\mathrm{\infty }?$

Pois algo totalmente diferente:

O límite da función xa non é un número real senón:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt{x^2+x-2}-x]=+\mathrm{\infty }$$

por mor do $-x$ da dereita.

O proceso continúa do xeito común: comparando a función con $x$ en "menos infinito". E sucede o seguinte:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+x-2}-x}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt{\frac{x^2+x-2}{x^2}}-1]=$$
$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}-1]=0$$

0? De verdade? Pero a nosa función non tendía a $\mathrm{\infty }?$

Editado o 13 de abril: En realidade hai funcións que tenden a infinito no infinito que comparadas coa función identidade teñen límite 0, a primeira que vén á cabeza é $f(x)=logx$. No contexto do post si tiña sentido a sorpresa.

Déixovos que expliquedes o erro. Porque erro hai, como vemos na gráfica da función:

Que pinta esa recta oblicua?

Afastemos a gráfica:

E esa rama?

Temos un anaco da gráfica por explicar. É factible explicar o fallo técnico do cálculo previo nunha aula de 1º de Bacharelato?