17.5.15

De 2D a 3D-2


Retomo a idea de hai dúas entradas: de que xeito levar un problema de dúas a tres dimensións pode axudar a entendelo mellor e aínda a resolvelo?

O seguinte exemplo está tirado dun estupendo artigo de Alexander Shen, Three-dimensional solution for two-dimensional problems, que apareceu en The Mathematical Intelligencer no 1997.

Collamos tres circunferencias calquera que se intersecan dúas a dúas. Se trazamos os 3 segmentos que unen os puntos de intersección, veremos que son concorrentes. É dicir:

   


Imaxinades como "elevar" este problema?

Pois trazando esferas que teñan ás circunferencias orixinais como "ecuador", tomando o plano no que están as circunferencias e erguendo un hemisferio por riba e outro por embaixo.

   



Se miramos estas esferas desde arriba, temos a situación orixinal:


   

Ben, e que achega esta nova figura ao problema orixinal? En realidade, todo o necesario. Por un momento, centremos a atención en dúas das esferas. Se consideramos a súa intersección, obtemos unha circunferencia perpendicular ao plano orixinal, e que corta a ese plano precisamente na corda verde, de tal xeito que se mirarmos desde arriba, a circunferencia e a corda non se distinguen:

    


   
Agora xa está claro:
   
Pensemos agora no punto no que se intersecan as tres esferas, ou o que é o mesmo, o punto no que a circunferencia ortogonal vermella (que é a intersección de dúas esferas) interseca á outra esfera. Que vemos desde arriba? O punto de corte das tres cordas, q.e.d.



Nota: imaxino que veríades unha incorrección no razoamento, pois non hai un só punto de intersección senón dous. O que ocorreu é que seguín o razoamento de Shen, que traballa todo o tempo con semiesferas (as superiores), cousa que non dei feito co Geogebra. Aínda así non hai problema, pois coa vista cenital non vemos o punto inferior, que é tapado polo superior.


Nota mental: Geogebra 5 fai interseccións de superficies


   









0 comentarios:

Post a Comment