A Maxia de Moessner

Mentres evitaba corrixir recuperacións de primeiro de bacharelato aproveitei para revisar o clásico de John Horton Conway e Richard Guy, The Book of Numbers. E alí descubrín esta xoia da aritmética que, confeso, debín de pasar por alto en lecturas previas. Aínda por riba, o feito que vou comentar hoxe tamén aparece no libro de Rons Honsberger More Mathematical Morsels.

Benvidos ao espectáculo de maxia de Alfred Moessner:

Comezamos cos números naturais en ringleira. Se riscamos os números pares (é dicir, cada dous números) e na segunda ringleira indicamos as sumas parciais dos números non riscados, que obtemos?

Pois si, os cadrados. Nada novo ata o momento.

Risquemos cada terceiro número (os múltiplos de 3, vaia). Na segunda ringleira calculamos as sumas parciais, riscamos o último número de cada bloque (é dicir, cada segundo número). Volvemos facer as sumas parciais e...

Isto empeza a parecer interesante.

A que xa adiviñades o que sucede se comezamos riscando cada catro números?

Se analizamos o que sucedeu nestes tres casos, vemos que, se comezamos riscando os números $2n=n+n$, acabamos cos números $n^2=n\cdot n$; se comezamos cos $3n=n+n+n$, rematamos cos $n^3=n\cdot n\cdot n$; se comezamos cos $4n=n+n+n+n$, atoparemos os $n^4=n\cdot n\cdot n\cdot n$.

É dicir, se comezamos con $n+n,n+n+n,n+n+n+n,\dots$, obteremos $n\cdot n,n\cdot n\cdot n,n\cdot n\cdot n\cdot n,\dots$

Pero non remata só cos múltiplos e as potencias o asunto. Vexamos que sucede se comezamos riscando os números triangulares, que teñen a estrutura $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})$:

Non pode ser... os factoriais? Que fan aí os factoriais?

Quizais sexa máis útil ver os números triangulares como $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})=1+2+3+\cdots +n$ e os factoriais como $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n$, de tal xeito que observamos que neste algoritmo, sempre que comecemos riscando cada certos pasos, nos que aparecen sumas, rematamos substituíndo esas sumas por produtos. Abraiante, non o neguedes.

Veña, que isto non é todo, risquemos os cadrados:

Isto é máis difícil de ver. Para entender o que pasa hai que lembrar primeiro que os cadrados poden expresarse:

$$1+2+3+\cdots +n-1+n+n-1+\cdots +3+2+1=n^2$$

(a algún soaralle isto do post do 5º aniversario)

E que números obtemos? Sen saber previamente o truco é difícil de conxecturar que son os números coa pinta $(n-1)!\cdot n!$. Sabendo o truco, rapidamente acadamos os números $1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1=(n-1)!\cdot n!$

Déixovos que pensedes que ocorrería se comezamos riscando o 1, o 4, o 10 e sucesivamente imos incrementando o incremento unha unidade. A ver se recoñecedes os números que aparecen. E as xeneralizacións son case infinitas.

Admission Test-Fail

Lendo blogues de educación rematei na web da revista Bridge, magazine de The Center of Michigan, think tank non partidista do estado de Michigan. Un dos temas deste xornal é Talent&Education, o cal, recoñezo, xa me fai desconfiar. Tampouco axuda moito a aumentar a confianza que The Center of Michigan diga que está por riba dos partidos.

Aínda coas miñas reticencias, o que me fai escribir este post non é analizar as características dun think tank dos USA (na web din "think&do tank") con intereses no sistema educativo, senón traer acó un exercicio liberado do exame de certificación de profesores de Michigan, o Basic Skills Test.

Usa a gráfica de abaixo para contestar a seguinte pregunta.

Collido da web de Bridge

Cal das seguintes opcións é certa no momento T?

1. Tanto o corredor A como o B están a correr.
2. A está a correr e B está a descansar.
3. B está a correr e A está a descansar.
4. Tanto o corredor A como o B están a descansar.

Só traio este ítem dunha proba para exercer a docencia no estado de Michigan para abrir esta reflexión: Ata que punto é axeitado utilizar tests de resposta múltiple para avaliar este tipo de coñecemento matemático? (sen entrar en que así é imposible avaliar a idoneidade para a docencia, só falo de coñecemento puramente científico da materia) Que sucede se un candidato observa que este ítem, cos datos proporcionados, non pode ser contestado? Terá que escoller a opción b porque é a esperada polo órgano que fai os tests?

Se non queda claro no ítem mesmo, o que provoca a ambigüidade é que a variable dependente, "Distance", non queda claro se aparece respecto a un punto de partida, se é a lonxitude total que percorren os corredores... Unha situación acorde coa gráfica na que os dous corredores estean a correr preséntase se o durante certo tempo o corredor B fai círculos arredor do punto desde o que se mide a distancia, provocando que esta distancia permaneza constante nese intervalo. Sen máis contexto, o ítem está mal deseñado.

Non tiña pensado comentar nada máis sobre ese test, mais o último ítem liberado puido comigo. Xulgade vós se isto é axeitado nunha proba de admisión para profesores:

Bess, Tara, Gerard e Clifton traballan para a mesma empresa. Un é escritor, un investigador, un artista e un enxeñeiro. Usa os enunciados de abaixo para responder a pregunta que segue:

• Bess e Gerard comen o almorzo co enxeñeiro.
• Clifton a Tara comparten coche co investigador.
• Gerard traballa no mesmo edificio que o escritor e o investigador.

Quen é o investigador?

1. Tara
2. Bess
3. Clifton
4. Gerard

Precisamente esta semana os meus alumnos de 1º de E.S.O. tiveron que resolver un problema de lóxica deste tipo, só que máis difícil. E deron feito, por certo. Polo visto este exercicio aparece en non poucos sites de preparación de tests (probade cos nomes en google), o que fai pensar que non aparece esporadicamente, senón que estes exercicios son habituais.

Nesta época de tests e big data que nos asola habería que pedir que, xa que non o deseño do test, polo menos os items tivesen sentido. Se non é moito pedir.

Cadrados e triángulos bailando

Esta animación de René Jodoin, Dance carrée, vai para os 53 anos. Eu descubrina esta fin de semana fedellando na filmografía do National Film Board of Canada, e tendo en conta o número de visitas no youtube, dáme que moi coñecida non debe de ser.

Observade a danza do cadrado:

Quizais a animación sexa menos variada do que se podería esperar a priori. Tamén hai que salientar que a música escollida é realmente curiosa, máis nesta época na que aparece música do estilo de Inception por todos lados. Queda como cuestión se o artista (ou o seu equipo) faría a animación fotograma a fotograma a partir de debuxos a man, hoxe que tan sinxelo é crear unha animación, incluso sen coñecementos de programación.

No National Film Board of Canada tamén podemos atopar esta animación, Notes on a Triangle, cinco anos máis recente:

Despois de velas unha soa vez quedo coa impresión de que na segunda animación, ademais das propiedades métricas que son comúns aos dous vídeos, tamén vemos retallos de semellanza. Tamén resulta case imposible deixar de ver un hexágono regular (onde non está) interpolando triángulos.

Non podo deixar de pensar que os innovadores dos anos sesenta seguro que crían que estes vídeos ían ser a ferramenta definitiva... Quedaron no limbo do esquecemento xunto ao Basic, o LOGO, ... onde tamén estarán dentro de pouco as Webquests (se non están xa), o Prezi, a Khan Academy, os MOOCs (poña aquí o hype educativo que vostede deteste)...

Aínda desde un punto de vista do século XXI hai que recoñecer o mérito de artistas como Rene Jodoin. Por se alguén está interesado, deixo a listaxe das súas creacións e producións. Esperemos que haxa máis xeitos de velas ademais de mercar o VHS.

De (5º) aniversario + 1 día

Un soldado romano nun bar pedindo unhas cervexas...

Vaia blogueiro estou feito. O que me fixo lembrar que este blogue leva cinco irregulares anos pola rede non foi o sinalado da data (6 de xaneiro, en fin) senón que un compañeiro na blogoesfera (?) celebrou o seu propio aniversario, coa sorte de que comezou un ano menos un día despois que o meu. Antes de seguir lendo, ide á carta xeométrica se non o fixestes aínda.

Como no meu caso tampouco hai moito que celebrar tendo en conta que o ritmo do blogue baixou notablemente do 2012 ao 2013,  proporei uns problemas ao estilo primixenio, que os meus listos e guapos lectores seguramente resolverán, como xa teñen feito con adiviñas ben complicadas:

• O primeiro, xeométrico, admite varios enfoques:

Demostrar que a suma dos lados dun triángulo isóscele é menor que a suma dos lados de calquera outro triángulo coa mesma base e altura. No debuxo:

AB+AC < A'B+A'C

• O segundo, numérico, visto (de novo) no número 74 da revista SUMA:

Observando que $1+2+3+4+5+4+3+2+1=5^2$, conxecturar que sucede en xeral e demostralo.

• O terceiro, un problema de velocidades algo especial:

Un rapaz está a andar por unha ponte do ferrocarril. Cando leva percorridos $\frac{4}{7}$ da ponte oe que se achega un tren diante del. Coa particularidade de que lle dá tempo exactamente para correr ao encontro do tren ou para desfacer o camiño. Se o rapaz corre a 20 km/h, cal é a velocidade do tren?

Mirando ao tren

• E o último, o primeiro crebacabezas dun libro (sonvos afeccionado aos primeiros problemas):

No labirinto seguinte o obxectivo é entrar pola frecha de entrada e saír pola outra, de tal xeito que no noso camiño a suma dos números que atopemos sexa 100, pero, ai!, sen pasar dúas veces pola mesma pasaxe nin intersección:

Tócavos reflexionar...

Algún haberá que vos guste, xa veredes.

Imaxino que agora tería que dicir que espero seguir escribindo outros 5 anos neste blogue, mais creo que é moito dicir. Veremos...

Sobre avaliacións externas en Finlandia

Non é ningunha sorpresa que eu non son moi afeccionado ás probas estandarizadas. En concreto PISA é habitualmente o branco das miñas críticas, tanto neste blogue como no twitter. Cada tres anos temos que ler/oír o ben que o fan os sistemas educativos de Shanghai, Singapur, Taiwan... e o mal que o facemos en España. Tamén, e como fenómeno esporádico, lemos o formidable que é a educación en Finlandia, dependendo do medio no que esteamos con frases como "Os profesores son recoñecidos socialmente", "O ensino regrado non comeza ata os 7 anos", "O sistema finlandés é ao 97% público", "Os alumnos teñen máis recreos" ou ben "Os profesores cobran menos e están máis preparados que os españois", "Os profesores españois non son avaliados"... Deixando a un lado que no informe do 2012 Finlandia baixou no ranking (o cal non ten por que implicar que o seu sistema empeorase), un detalle sobre a educación en Finlandia que tende a ser obviado é que hai opinións de profesores finlandeses que apuntan a que o coñecemento de contidos dos seus alumnos é deficitario, o que provoca, seguramente, que os seus resultados en TIMSS sexan significativamente peores que en PISA (que moitos pensamos que mide máis a comprensión lectora que a competencia matemática).

Pois ben, aproveitando as vacacións para buscar novos problemas, enfoques de contidos, etc. dei con este sumario sobre as avaliacións externas de Matemáticas en 9º grao en Finlandia do 1998 ao 2004 (está en inglés, non en finés). En 9º grao os alumnos teñen 15 ou 16 anos, e as avaliacións están divididas en dúas partes: unha tipo test con 25-30 items con 5 opcións cada un (cun minuto por ítem) e outra con tarefas abertas para avaliar as habilidades de resolución de problemas (entre 6 e 8 tarefas e entre 45 e 90 minutos); na última tamén houbo unha parte de cálculo mental. Os items entran dentro do ordinario nas clases de Matemáticas e están divididos en bloques dun xeito bastante standard: Números e operacións, Xeometría, Estatística e Probabilidade, Funcións e Álxebra. Quizais chame a atención que o nivel de dificultade non é moi elevado e en consecuencia resulte salientable o desempeño dos alumnos finlandeses, as súas porcentaxes de acerto. Como mostra mirade estes exemplos e tentade adiviñar a porcentaxe de acerto:

• Exemplo 1: (Números e Operacións) Canto custan os zapatos?
  
• 485 marks
• 425 marks
• 75 marks
• 350 marks
• 400 marks

Exercicio típico que comezamos a traballar en 1º de E.S.O.

• Exemplo 2: (Xeometría) A lonxitude da aresta dunha caixa cúbica é 20 cm. Cantos litros de froita pode conter a caixa?
• 8 litros
• 6 litros
• 20 litros
• 80 litros
• 4 litros

Os volumes adoitan aparecer en 2º de E.S.O., en ocasións os corpos xeométricos xa se traballan en 1º. 

• Exemplo 3: (Funcións) Segundo as instrucións, o zume concentrado é mesturado con auga na razón 1: 4. Canto zume diluído podes obter con 2 litros de zume concentrado?
• 4 litros
• 5 litros
• 6 litros
• 8 litros
• 10 litros

Intúo que consideran todo o contido da proporcionalidade dentro do bloque Funcións. Este tipo de exercicio aparece en 1º de E.S.O., con esta formulación levaría a moitos alumnos a escoller a primeira opción (calcularían a auga necesaria e non o total da mestura).

• Exemplo 4:(Álxebra) A expresión $(2a{)}^3$ pode ser expresada como:
• $2a^3$
• $6a$
• $8a$
• $6a^3$
• $8a^3$

Os monomios son introducidos normalmente en 1º de E.S.O., quizais non as potencias. Con 16 anos a porcentaxe de erro neste ítem tería que ser case nula

• Exemplo 5:(Xeometría) Un contedor cúbico está cheo de auga. Un cubo sólido, cuxa aresta mide exactamente a metade que a aresta do contedor, é mergullado no contedor. Que proporción da auga rebosará?

O mesmo que no exemplo 2, agás que hai que coñecer o Principio de Arquímedes para contestar.

• Exemplo 6:(Estatística e Probabilidade) Maija sacou un 7 no seu primeiro exame de Matemáticas. Que nota ten que sacar no seguinte exame para ter unha media de 8?

Supoño que o ítem aparece incluído en Estatística e Probabilidade porque fala dunha media aritmética. Ben podía aparecer en Números e Operacións, aínda que é sinxelo reformular o exercicio para convertelo nun problema no que habería que utilizar Álxebra.

• Exemplo 7:(Funcións) Lévame 24 minutos chegar á casa desde a escola a unha velocidade de 5 km/h. Canto tempo me levaría se fose en bicicleta a 15 km/h?

Outro exemplo de proporcionalidade, neste caso inversa. Hai centros nos que en 1º xa se traballan os dous tipos, noutros esperan a 2ª para introducir a inversa.

• Exemplo 8:(Xeometría) A figura da dereita é unha grella 3x3 con cadrados sombreados no bordo. Cantos cadrados sombreados tería o bordo dunha grella 50x50?

  

  Ambiguo...

Aínda que fala dunha figura xeométrica, o problema tamén pode ser entendido como de recoñecemento dun patrón; a solución que dea o alumno dependería da súa historia de aprendizaxe. A min gustaríame máis (para un dos meus exames) preguntar polo número de cadrados non sombreados.

• Exemplo 9: (Estatística e Probabilidade) A táboa amosa as conexións de teléfonos móbiles en Finlandia en 1990, 1995 e 2000

Statistics Finland

Cal foi a porcentaxe de incremento nas conexións entre 1995 e 2000? Dá a túa resposta aproximada ao enteiro máis próximo.

Neste caso tampouco queda moi clara esta asignación ao bloque de Estatística. Por outra banda, o exercicio é usual nas aulas de 1º de E.S.O.

• Exemplo 10:(Álxebra) Resolve a ecuación $6x-2=4x+7$

En case todos os centros que coñezo (que non son poucos) as ecuacións de 1º grao danse en 1º de E.S.O., con diferenzas na dificultade das mesmas, chegando como mínimo a ecuacións como a deste exemplo nalgúns casos, noutros ata ecuacións con parénteses ou incluso ata ecuacións con denominadores.

Antes de darvos as porcentaxes de acerto, imaxino que observariades que as opcións están ben escollidas, é dicir, desde o punto de vista do alumno están pensadas para "coller". Por exemplo, no da capacidade e a froita vemos como xogan coas unidades ademais de coa fórmula do volume; no do monomio cos erros tradicionais $(xy{)}^n=x{y}^n$ e $x^n=n\cdot x$; no da proporción concentrado/auga co feito de non calcular o volume total da mestura... En conclusión, o que facemos todos os profesores, incluídos os que non fomos a seminarios organizados polo Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) sobre elaboración de items nos que se dixeran principalmente obviedades.

Pero veña, aos números:

Exemplo	Porcentaxe
1	81%
2	56%
3	22%
4	39%
5	11%
6	91%
7	59%
8	41%
9	18%
10	69%

Recoñecede que non era o que esperabades antes de ler este post. Quizais os que crían (coma min) que o ensino en Finlandia está centrado no tanxible e na resolución de problemas verían o 39% no exemplo 4 como esperable, pero que me dicides do 22% no exemplo 3? E do 18% no 9? O 41% no da grella tampouco é para botar foguetes...

A ver se atopo máis probas liberadas do sistema finlandés que quedei coas ganas de saber máis.