(Outra vez) Problemas de Álxebra sen ecuacións

Velaquí outra quenda nesta xeira de problemas que só me interesan a min (10/2014, 11/2014, 2015, 4/2023)

Explico de que vai o conto, por se alguén aínda non vira ningunha entrada destas: a idea é compartir problemas ou exercicios nos que sexa necesario ou axeitado utilizar álxebra para chegar á solución, e que nesa resolución non sexa esencial (ou polo menos non o máis interesante) resolver unha ecuación. Nalgún dos problemas que foron aparecendo nesta serie si hai que resolver unha ecuación, pero o interesante e difícil viña antes. Un exemplo dentro do curriculum sería o tradicional exercicio no que se dan condicións sobre un número de dúas cifras, e hai que utilizar que $a{b}_{10}=10a+b$. O máis interesante é traducir o sistema de numeración á linguaxe alxébrica, normalmente a ecuación posterior é rutineira. De feito, nese tipo de problemas, como as variables só poden tomar 10 valores(as cifras), cunha condición do tipo "as cifras suman 7" acabas antes probando que facendo todo o choio alxébrico.

Fedellando en vellas coleccións de problemas que gardo polo disco duro, dei con algún problema máis que require de habilidade alxébrica, ou ben no aspecto da tradución ou ben no da manipulación. O 1º, este do concurso de principiantes de Austria de 2014:

Sexan $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ con $a<b<c<d$. Ordena de xeito crecente os números $x=ab+cd,y=bc+ad,z=ca+bd$ e proba a corrección do teu resultado.

O seguinte problema tíñao gardado hai anos no Read Later de Feedly, fora compartido no blog de Dimates, procedente do Marató de problemes. Xa adiviñades vós de que ano:

A unha proba de aptitude preséntanse 2019 persoas, 995 mozos e 1024 mozas, e exactamente 1234 superan a proba. Atopa o valor de A - B, sendo A o número mozas que superaron a proba e B o número de rapaces que non a superaron.

Nesta cuestión hai algo subxacente que me interesa especialmente: que significado ten ese invariante, A-B? Nunca estivestes no medio dun cálculo alxébrico, atopando un valor, demostrando un resultado, etc., e de súpeto pensastes "Pero que significa isto"?

Ah, e é máis que probable que para resolver con álxebra o problema, vaiades usar unha ecuación, ou, se queredes, unha igualdade. Lembrade que a etiqueta "sen ecuacións" hai que interpretala con laxitude.

E para rematar, un problema dunha familia ben tradicional:

No encerado están escritos os números 2, 3 e 6. Podes reemprazar dous dos números, poñamos a e b, polos números $\frac{3a}{5}+\frac{4b}{5}$ e $\frac{4a}{5}-\frac{3b}{5}$. Amosa que é imposible que apareza un número maior que 7 no encerado.

Ata aquí. Vémonos seguramente en 2024.

Outro aritgrama(máis)

 Non sei en que andaba turrando, que me veu unha idea para un aritgrama, atopei unha solución, e velaquí:

   

Como é habitual, cada letra representa unha cifra distinta, e N e S son non nulos.

Un anaco despois atopei outras dúas, coido que son tres en total. O amable lector dirá.

Como os aritgramas xa son un tipo de recreación matemática con moita tradición, non podo garantir que este non existise xa, sobre todo en inglés son consciente de que hai unha morea.

De ángulos e senos

No último exame de Matemáticas I puxen este exercicio:

Demostrar que a expresión $cos(\alpha +\beta )cos\beta +sen(\alpha +\beta )sen\beta$ non depende do valor de $\beta$

Habitualmente, cando poño cuestións de identidades trigonométricas en exames, tento que haxa varios camiños para atopar a demostración, para evitar frustracións alén das ordinarias. E este é un bo exemplo, pois é factible desenvolver todo o desenvolvible:

$$cos(\alpha +\beta )cos\beta +sen(\alpha +\beta )sen\beta =$$

$$(cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta )cos\beta +(sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta )sen\beta =$$ 

$$cos\alpha co{s}^2\beta -sen\alpha sen\beta cos\beta +sen\alpha cos\beta sen\beta +cos\alpha se{n}^2\beta =$$

$$cos\alpha co{s}^2\beta +cos\alpha se{n}^2\beta =cos\alpha (co{s}^2\beta +se{n}^2\beta )=cos\alpha$$

que non depende de $\beta$, q.e.d.

Aínda que un profesor con algo de experiencia ou intuición saberá que o final da demostración dos alumnos vai ser algo distinta, utilizando a fórmula fundamental para substituír unha das razóns.

Mais tamén, como adiviñaría o avezado lector, hai unha proba nunha liña:

$$cos(\alpha +\beta )cos\beta +sen(\alpha +\beta )sen\beta =cos(\alpha +\beta -\beta )=cos\alpha$$

Que é máis complicado de ver por un alumno pola dependencia nos símbolos. Comprensible.

Buscando inspiración para o exame no libro Trigonometry de Gelfand & Saul, que é unha xoia, atopei este exercicio, que xa coñecía dalgunha outra fonte (pode que fose nun libro de texto antigo) pero esquecera. E tivo a consecuencia indesexada de facerme rememorar vellas ideas da carreira, en concreto a materia Elementos de Variable Complexa de 3º. A estrutura da expresión levoume á breve demostración que se vía aló das fórmulas para o seno e o coseno da suma e da resta de ángulos.

Pero antes, lembremos as demostracións habituais:

Seguramente a que aparece na maioría dos libros de texto se basee na figura seguinte:

   

É posible que a figura non apareza na circunferencia trigonométrica, o que supón un pequeno obstáculo adicional. E é ben coñecido que esta proba só demostra directamente o caso no que a suma dos ángulos é un ángulo agudo, para ángulos maiores hai que utilizar outro argumento, relacionado coa redución ao 1º cuadrante.

Neste blog apareceu outra demostración elemental que só utiliza a expresión da área dun triángulo en función do seno dun dos ángulos, na entrada O seno da suma (cunhas poucas palabras), e que se sintetiza na seguinte imaxe:

   

Subindo un chisco o nivel de coñecementos, a representación das rotacións mediante matrices fai que a demostración sexa un mero trámite, pois o produto das matrices representa a composición das rotacións:

$$\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}cos\beta & -sen\beta \\ sen\beta & cos\beta \end{array}\right)$$

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cc}cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta & -(cos\alpha sen\beta +sen\alpha cos\beta )\\ sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta & -sen\alpha sen\beta +cos\alpha cos\beta \end{array}\right)= \\ \left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sen(\alpha +\beta )\\ sen(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right) \end{gathered}$$

O lector hardcore deste blog lembrará que esta idea, formalmente, xa fixera aparición hai dez anos na entrada Matrices e Pitágoras?.

E aínda podemos exprimir máis o conto:

$$e^{i\alpha }\cdot e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}$$

Utilizamos a fórmula de Euler e temos outra demostración ultrarrápida das fórmulas de adición.

Porén, o episodio que veu á miña memoria poñendo o exame non foi isto, senón a demostración que aparecía nun libro de texto da bibliografía de Elementos de Variable Complexa, que basicamente consistía no seguinte:

Consideremos $\omega \in \mathbb{C}$ e a función $f(z)=coszcos(\omega -z)-senzsen(\omega -z)$

Calculamos a súa derivada:

$$\begin{gathered} f^{\prime }(z)=-senzcos(\omega -z)+cosz\cdot (-1)\cdot [-sen(\omega -z)]-coszsen(\omega -z)- \\ senz\cdot (-1)cos(\omega -z)=-senzcos(\omega -z)+coszsen(\omega -z)-coszsen(\omega -z)+ \\ senzcos(\omega -z)=0 \end{gathered}$$

Polo que a función é constante, e como $f(0)=cos\omega$, temos que: $$coszcos(\omega -z)-senzsen(\omega -z)=cos\omega ,\mathrm{\forall }z\in \mathcal{C}$$, que é un xeito alternativo de escribir a fórmula para o coseno da suma de ángulos.

Un aspecto que distingue as diferentes probas é se son demostracións de comprobación ou de descubrimento. A última que amosei, alén de usar unha idea potente, só comproba algo xa coñecido, i.e., non serve para atopar a expresión; mentres que nas outras podemos atopar a expresión sen coñecela previamente. 

Por outra banda, lembrades a demostración habitual da derivada do seno? Utiliza dúas cousas: o límite $\underset{x\to 0}{lim}\frac{senx}{x}=1$ e, precisamente, o seno da suma na forma $sen(x+h)$. Sempre hai que ter coidado e traballar con xeito, non vaiamos demostrar o Teorema de Pitágoras vía o Teorema do Coseno.