Un problema de optimización nun triángulo

Hai anos, na época previa incluso aos blogs(un chisco máis, e collédesme xogando ao Age of Empires II), adoitaba participar en distintos foros nos que os usuarios propoñían problemas. Algúns xa desapareceron, como 100cia.com ou o Foro de Migui; outros sobreviven, como o Rincón Matemático, onde estiven a ler algúns problemas nos que acheguei unha solución(ou tentativa de), hai arredor de 10 anos. Hoxe traio un dos que máis me gustaran:

Un punto X tomado na hipotenusa dun triángulo rectángulo, proxéctase ortogonalmente sobre os catetos nos puntos M e N. Determinar a posición do punto X e a lonxitude do segmento MN cando esta sexa mínima:

    

Vémonos no 2019.

Un bo problema, a varios niveis

Este curso adiantamos as avaliacións respecto ao "calendario natural", pois a volta da Semana Santa, Chamorro para os ártabros do norte, cadra coa Feira de Moeche; ou se sodes doutras latitudes, co Día do Libro. Polo que xa rematei os exames e xuntas da 1ª Avaliación, e tiven un anaco nesta ponte para revisar pdfs e djvus do disco duro.

No cartafol Miscelánea estiven a botar unha ollada a Hidden Connections, Double Meanings, do sempre interesante David Wells(antes neste blog, aínda antes), e atopei un problema, se ben lixeiramente familiar, coido que nunca o vira deste xeito.

Imaxinemos un insecto que parte dun punto A e anda 1 metro nunha certa dirección, chegando a un punto B. En B xira 90º á esquerda e anda medio metro, chegando a un punto C, onde volve xirar 90º á esquerda e avanzando un cuarto de metro. Se continúa o seu camiño espiral deste xeito, sempre xirando 90º á esquerda e avanzando a metade do tramo anterior, a onde chegará no límite?

Como sempre, cun debuxo, mellor:

    

Este problema enche o capítulo 11 do libro, One problem, many solutions, onde o autor propón 3 solucións distintas: unha xeométrico-aritmética, unha puramente xeométrica e finalmente unha puramente aritmética. (Nota: ningunha desas solucións foi a que atopei eu).

Porén, o que me resulta máis atractivo do problema é a posibilidade de darlle un tratamento experimental. No curriculum de Matemáticas I temos que facer estudos xeométricos mediante programas informáticos, que é un xeito de aludir ao geogebra sen nomealo. Quizais este ano mande estudar configuracións semellantes a esta, onde poidamos combinar certos movementos, supostamente estudados na ESO. Verei.

Déixovos unha pista para a 1ª solución que achega David Wells. Unha fermosura:

    

Por último: de que xeito resolvín eu o problema? Pois

SPOILER

Sumando unha serie xeométrica de números complexos.

Cando teña ganas de escribir solucións pode que a comparta.

Unha actividade recorrente en 1º de ESO

Para practicar e reflexionar sobre a xerarquía de operacións en 1º de ESO adoito propoñer algún exercicio deste estilo:

Coloca parénteses(ou non) para obter o resultado indicado:

$$144-24:8-2= \hspace{1cm}140$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 139$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 20$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 143$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 13$$

É inevitable que algúen proteste porque as operacións son todas iguais, momento no que se explica o que significa o enunciado do exercicio, é dicir, por que ten sentido.

Aínda que en exemplos como o anterior, ao seren tan breves, os alumnos poden resolver o exercicio  por aburrimento, simplemente probando todas as opcións, elaborando un chisco máis a actividade sobe un chanzo a dificultade e o nivel de reflexión necesario para resolvela.

Pois ben, este ano por primeira vez pensei en improvisar unha actividade semellante a partir dos erros que van cometendo os meus alumnos. Por exemplo, ao comentarmos unha operación do libro de texto,

$$28-3 \cdot 2 \cdot 4=$$

ademais do resultado correcto, 4, escoitouse un 200. En troques de apuntar eu a evidente corrección, aproveitei para preguntar á clase que sucedera. Varias alumnas xa o sabían, polo que preguntei aos que non foran tan rápidos onde habería que colocar parénteses para obter 200.

Agora que o penso, non sei como non fixera isto antes, co natural que resulta.

Este exercicio ou algo semellante tamén ten o seu oco na unidade de Números Enteiros, onde resulta máis difícil:

$$-24:3+3= ~~~~~-4$$

$$2 \cdot 7-5-1= ~~~~~10$$

$$+7 \cdot (-5)+3= ~~~~~-14$$

$$-3+3 \cdot (-3)-(+3)= ~~~~~-21$$

$$-3-5-2= ~~~~~+7$$

Aviso: o último ten truco.

Outra actividade, que xa adoito propór na unidade de Números Enteiros, ás veces en 2º de ESO, supón un paso máis. Velaquí:

Coloca os números nos espazos para obter o maior número posible:

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square + \square-\square$$

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square - \left( \square+\square \right)$$

$$-2,0,+4 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square-\square \right)$$

$$-3,-2,+5 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square+\square \right)$$

P.D.: Non sei se estas actividades serven de algo, avaliar iso no contexto da aula resulta demasiado confuso. Na práctica diaria, o único no que se pode apoiar un profesor é na súa propia intuición, pois a administración non responde da docencia impartida baixo a súa responsabilidade, e as investigacións serias levadas a cabo nas universidades adoitan ter outros obxectivos e motivacións. Por non falar da xerga propia do gremio, que fai esotérica a maioría dos papers para os non iniciados. Pero vaia, estes exercicios son divertidos, que non é pouco no contexto das operacións combinadas.

Aproveitando a marea...

    

En 1º de ESO unha das primeiras unidades didácticas é Divisibilidade, o xeito no que aparece depende de se hai unha unidade de Números Naturais anterior ou se están fundidas nunha soa.

Mirando os estándares de aprendizaxe de 6º de Primaria:

MTB2.4.1. Coñece e aplica os criterios de divisibilidade por 2, 3, 5, 9 e 10.

MTB2.8.8. Calcula todos os divisores de calquera número menor de 100

MTB2.8.9. Calcula o mcm e o mcd

Poderíamos quedar coa impresión de que a unidade vai levar 5 ou 6 sesións. Mais, do mesmo xeito que non todos os meus alumnos van lembrar en 2º o que estamos a traballar agora, no tránsito de 6º a 1º sucede o mesmo. Ademais non estou certo da idoneidade dalgúns contidos do curriculum de Primaria, debido a que talvez excedan a capacidade dos cativos aos 10-11 anos. Como mostra, unha alumna moi boa comentoume ao comezo dos problemas desta unidade(aínda que levamos facendo problemas desde o principio, refírome á fase final da unidade) que en 6º lles ensinaran un "truco" para saber se o problema "era de mcd ou de mcm". Isto non é a usual e ignorante crítica ao profesor  do ano anterior, senón que vén amosar é que, ás veces, aos profesores non nos queda outra opción que adaptarnos ás posibilidades de comprensión dos alumnos no momento educativo no que os collemos.

Hoxe o que quero comentar é unha oportunidade que se presentou no medio dun problema "de MCD". Case todos estaredes ao tanto do que vou amosar, quizais nunca o observastes no transcurso destes contidos.

Facendo un problema do libro de texto:

"Un carpinteiro quere cortar en cadrados iguais unha táboa de 56 cm de largo por 40 cm de alto, de tal xeito que os cadrados teñan a maior lonxitude posible. Canto medirán os cadrados?"

Soa coñecido, non si? Entra dentro do que podemos denominar "puro choio de libro de texto"

Houbo varios alumnos que o resolveron do xeito obvio, unha vez entenden que é esencial que as pezas sexan cadradas para que a medida común de largo e alto sexa un divisor común de 56 e 40: calculando o MCD de 56 e 40, que é 8.

Sorprende que o problema do libro remate só pedindo a medida dos cadrados, porque é tamén interesante calcular cantos cadrados sairán desa táboa. Polo que pedín ao final que calculasen esa cantidade. E atoparon o número do xeito que agardaba: No largo haberá 56:8=7 cadrados(por ringleira), no alto haberá 40:8=5 cadrados(por columna), en total haberá 7·5= 35 cadrados.

O máis interesante vén agora. Comenteilles que había outro xeito de calcular cantos cadrados habería, que seguramente era peor que o que dixera a alumna que explicou o modo anterior, pero que tamén funcionaba. Pensaron un anaco e outra cativa viu o xeito mais trabucou nunha cousa: indicou que podíamos calcular 56·40 para saber o tamaño(área) da táboa, e despois dividir ese número por 8, en troques de 8², velaquí o erro, que rapidamente reparou. O realmente formativo está en ver que hai dous xeitos distintos de resolver o problema, e que, neste caso, veñen cunha propina:

O 1º xeito redúcese ao cálculo: $$\frac{56}{8} \cdot \frac{40}{8}$$
E o 2º xeito a: $$\frac{56 \cdot 40}{8 \cdot 8}$$

Aínda que é un só caso, e moi particular, non é fermoso ver aquí o produto de fraccións?

Nota: en forma de división é máis escuro:

1º xeito: $(56:8) \cdot (40:8)$
2º xeito: $(56 \cdot 40) :(8 \cdot 8)$

De feito, aposto a que ao rematar a ESO non todos os alumnos teñen claro que $(a:b) \cdot (c:d)=(a \cdot c) :(b \cdot d)$

Un fracaso de clase

   

Hoxe comecei a unidade de Probabilidade en 3º de ESO. Os que desen algunha vez na ESO saberán que isto implica cambios na orde habitual das unidades, pois Estatística e Probabilidade é o último bloque e non é raro que nin se chegue a el. Pois ben, esta é a crónica dunha clase que non funcionou. Quen sabe se a idea, non moi orixinal, pode servir a algún compañeiro.

Teño por costume na ESO comezar todas as unidades do xeito máis informal que dou atopado, propoñendo problemas que poidan ser susceptibles dun ataque intuitivo, pero que ao final da unidade teñamos ferramentas para resolver de xeito "canónico". Deste xeito, non é estraño que nas miñas clases propoña un problema de divisibilidade antes de falar de múltiplos e divisores co gallo de introducir o marco no que imos traballar e tamén para contrastar co final da unidade, cando os alumnos teñan aprendido os novos métodos.

Seguindo esta tradición, a miña idea era comezar a unidade de Probabilidade facendo preguntas para facer agromar as intuicións e a linguaxe informal que usan os alumnos neste contexto. Despois dunha pequena introdución sobre a praga das casas de apostas, onde un alumno discutiu o feito de que a ludopatía existise( isto non contribuíu desde logo ao ambiente da clase e tiven que apelar á DSM-V, o que xa me levou tempo e humor), presentei a seguinte imaxe:

Rigorosamente na lingua permitida polo decreto 79/2010

Non é a primeira vez que fago unha actividade semellante, aínda que desta volta lembrei a idea pescudando nos materiais do grupo epiSTEMe da universidade de Cambridge. Se botades unha ollada á lección proposta sobre Probabilidade, veredes que hai un feixe de ideas interesantes, mais pouco susceptibles de levar a unha aula con columnas de dúas mesas, polo que fun realista (ou resigneime a iso, como desexedes) e só pensei en levar este starter. A mecánica é sinxela: os alumnos teñen que facer unha estimación rápida sobre algúns experimentos e suscesos propostos polo profesor. Para non complicar as cousas e non introducir a confusión co feito de que os experimentos non fosen obviamente aleatorios, optei por non coller datos do IGE(nunha xornada de formación hai como 10 anos argumenteille á relatora xusto isto para non utilizar indicadores galegos en probabilidade). E restrinxín os experimentos ao lanzamento de moedas, dados, e á colocación ao chou de xente en ringleira. Máis ou menos, e non sei en que orde, foron:

No lanzamento de dúas moedas, A="saen dúas caras", B="saen resultados iguais nas dúas",C="sae polo menos unha cara"; no lanzamento dun dado, D="sae un 5"(pensando no parchís), E="a cara superior e a inferior suman 7"(tirada dos devanditos materiais); na colocación de tres persoas A, B e C en ringleira, F="A e B van seguidos en calquera orde"

Insistín en que tiñan que estimar onde colocar na escala de máis arriba os sucesos máis ou menos a ollo, imaxinando que se observaban moitas veces eses experimentos. Pois ben, vaiamos aos puntos nos que fracasou o plan:

• O primeiro, esencial, e imponderable: á maioría non lle interesou a actividade. Isto por si mesmo xa invalidaría todo o demais, con certeza.
• Para continuar, houbo alumnos que non entenderon a mecánica. Algúns agardaban que eu lles dixese onde colocar as letras.
• Por outra banda, houbo alumnos que non estimaron, senón que calcularon de modo exacto a probabilidade en varios dos sucesos, polo que esta actividade xa lles quedaba pequena(mixed ability classes, chámanlle no mundo anglosaxón). Con isto certamente non contaba, aproveitei para valorar esa capacidade sobre a marcha.

Tiña pensados máis sucesos e experimentos, mais nin houbo tempo material nin vin a oportunidade axeitada.

Agora que xa fixen terapia, en que lugar do segmento poríades vós o suceso "os alumnos prefiren que lles dea unha clase de definicións/propiedades/exemplos"? 

Por sorte, hoxe tamén tiven unha clase de introdución ao M.C.D. e o m.c.m. en 1º de ESO e unha de introdución ás Ecuacións e Inecuacións en Matemáticas I, onde expliquei a fórmula da solución da ecuación de 2º grao por petición de moitos alumnos e vin certo éxito nas Fórmulas de Cardano-Vieta. Se chego a ter dúas clases consecutivas de 3º de ESO non sei que sería de min.