A anos xa

You came to the wrong ε-neighbourhood
(xa usara esta imaxe, pero sempre é acaída)

Outro 6 de xaneiro, e xa van dez anos neste blog. En contra do que se podería agardar, estou satisfeito co que é agora: un lugar persoal onde colgar 1 de cada 4 cousas que me parecen susceptibles de  publicación. Como xa comentei en varias ocasións, o obxectivo principal primixenio era dispoñer dun sitio para propoñer problemas menos curriculares aos meus alumnos de (sobre todo)1º e 3º de ESO do IES Cosme López Rodríguez da Rúa de Valdeorras. Así podedes ver o ritmo vertixinoso de publicación do primeiro ano, continuado máis ou menos o 2º e o 3º. Despois dese inicio como blog "de apoio", e logo de moito cavilar, veu transformarse nunha páxina para chantar cousas que, se non as lese eu pola rede adiante ou en libros, me prestaría que alguén as colgase en galego para coñecelas. E isto salteado de comentarios sobre as experiencias na aula deste profesor random de Matemáticas.

Xa me teño laiado tamén de que en ningún momento chegamos a ter unha blogosfera matemática en galego, o intento de Manuel de sistematizala ao final do seu artigo Blogosfera Matemática no nº13 da revista Gamma choca de fronte coa realidade: dos blogs comentados, o que segue traballando a eito é  Carta Xeométrica, que todos sabedes que ten unha temática arredor da lingua e o país. Dos demais, podemos afirmar sen problemas que seguen funcionando este mesmo e os Retallos de Matemáticas, que publica menos entradas pero máis traballadas. As Dúbidas de Mates levan sen actualizar cinco anos; Dous Ferrados, que xa levaba un tempo sen actualizar, acaba de anunciar a súa xubilación(o que non quere dicir necesariamente que deixe o blog, agardo); o blog da revista do IES Monelos, Tetractis, leva descontinuo desde 2012(btw, o ano da LOMCE); o último número da revista do IES Otero Pedrayo, Mathesis, é de 2017.

Cales son as causas? Non é que eu sexa un experto, pero tampouco son difíciles de adiviñar: os autores asumen outras responsabilidades e teñen que deixar algunha: a primeira será actualizar un blog, que a fin de contas é algo voluntario; hai outros medios con comunicación máis inmediata: twitter, Facebook, quizais as aulas virtuais dos centros(se falamos de comunicación cos alumnos); a xubilación xa comentada... Tendo en conta que algo de narcisismo é necesario para crer que un ten cousas interesantes que comentar en público, o feito de que, ás veces, escribir un blog semella berrar no medio do monte non debe de animar a continuar. Para min un xeito de racionalizar esta sensación consiste en comprobar cantos comentarios teñen os blogs en inglés que sigo, blogs que obviamente teñen miles de seguidores e que teñen entradas con 2, 3 ou incluso ningún comentario(John Cook, Math Babe, Tanya Khovanova, Teaching with Problems, Craig Barton, Filling the Pail, etc., a excepción segue a ser o de Dan Meyer). Que nivel de feedback pode esperar entón un blog coma este, desenvolvido en galego normativo, co tema das Matemáticas escolares, escrito por este peculiar profesor(se serve como métrica de peculiaridade: que non adoita permanecer moito en ningún grupo de Facebook)?

Remato dicindo que espero seguir con este ritmo: aproximadamente dúas entradas ao mes non me van matar. Se queredes ler experiencias de clase sen moita orde nin moito xeito, problemas variados que poden ou non servir na aula, e calquera cousa que a este profesor lle pareza que cadra ben aquí, este é o voso blog. Non diredes que non sei vender un produto.

P.D.: Por certo, o título da entrada ten unha orixe similar á da vella brincadeira 

Por que os programadores trabucan o Samaín e o Nadal?

Unha idea que adoito utilizar en 1º de ESO

Hoxe, falando cun vello colega(máis novo ca min, pero coñecémonos desde o BUP) sobre as clases, didáctica and all that jazz, lembrei un xeito que teño de explicar o procedemento "un signo menos diante de parénteses cambia os signos de dentro", que aparece habitualmente nalgún momento en 1º de ESO. Quizais tería que concretar: non é exactamente explicar, senón máis ben facer verosímil. E desde logo, tampouco é demostrar, pois teño comprobado que demostrar rigorosamente a estes niveis é contraproducente: os alumnos non entenden as demostracións(por sinxelas e down-to-earth que sexan) e non ven por que son necesarias. Ademais: se demostras antes de practicar, seguramente vaias perder a atención dos alumnos e vas conseguir que pensen que o posterior é máis difícil do que é; se demostras despois de practicar, os alumnos non van entender cal é o propósito da demostración, e debido á falta de comprensión recibirás preguntas do estilo "pero entón como se fai?".

Unha vez claro o anterior, vaiamos ao miolo. O meu propósito é darlle un sentido a

$$a-(b-c)=a-b+c$$

Como todos sabemos, o esencial é ver que $-(b-c)=-b+c$, e isto tradúcese a que o oposto do número $b-c$ é $-b+c$. O que é totalmente inútil.

Debido ao momento de 1º de ESO no que aparece, o que acabarei facendo é algo do estilo

$$12-(8-3)=12-8+3$$

E en realidade, afinarei a un exemplo do estilo(agora veredes por que):

$$20-(10-4)=20-10+4$$

Poñédevos en situación: os alumnos están afeitos a ver procedementos claros e unívocos para executar as operacións. A estas alturas o que van ver non é estritamente necesario para calcular: traballámolo como preparación para operacións como $3x-(2-x)$. Do mesmo xeito que en Primaria non é imprescindible xogar coas igualdades, chegaría con facer sempre operacións do tipo $15-12+5=$, pero se non fan actividades como $7-\square=3$, o estudo posterior das ecuacións vai ser considerablemente máis difícil e longo.

Pois ben, para facer verosímil a regra xeral, o meu xeito consiste en darlle significado aos dous membros da igualdade, con sumas e restas dentro dos números naturais é sinxelo:

Imaxinade que ides mercar unha revista que custa 10 € a unha libraría. Levades un billete de 20€, e resulta que a revista ten un cupón de desconto de 4€ (xa todos vedes por onde vai a cousa, non si?)

• Se as cousas transcorren do xeito esperado, cando pagas, o libreiro nota o cupón ao cobrar, e fai o desconto no momento, polo que en troques de pagar 10€, pagas 10-4=6€. Neste punto pregunto aos alumnos como escribir a volta nunha soa liña, e despois dun chisco de discusión, chegamos a: $$20-6=20-(10-4)$$ O obstáculo obvio atópase en que algúns non verán a necesidade de escribir o membro con parénteses, aquí hai que insistir na historia: non custaba 6€ orixinalmente, senón que houbo que aplicar o desconto, aínda que o resultado final sexa o mesmo(de aí a igualdade)
• Se as cousas non transcorren do xeito esperado, cando pagas, o libreiro cóbrache os 10 €. Ti pagas co teu billete e devólveche 20-10=10€. Cando estás pola porta, o libreiro (ou ti mesmo) decátase do erro, chama por ti para que volvas, e que fai? Os alumnos que estean seguindo a clase contestarán "darche os 4€". Queda unha pequena discusión para chegar ao resultado final e obter o segundo membro da igualdade: $$20-10+4$$ E un chisco máis para que todos vexan que $$20-(10-4)=20-10+4$$

Uns comentarios finais:

1. Isto, de novo, non demostra nada, só dá sentido ou fai verosímil, como prefirades.
2. Nin sequera vai servir para outros casos semellantes, como $20-(10+4)$, que é máis simple, nin obviamente para $20-(-10+4)$, que xa entra na unidade de Números Enteiros. Para que servise para todos necesitaría unha demostración alxébrica GO TO 1.
3. Fanse este tipo de actividades en 5º ou 6º de Primaria? Non vexo maneira de sabelo. No curriculum deses cursos dan unidades máis avanzadas, non sei se pararán para dar sentido a cousas estudadas previamente, aposto que non por culpa das dimensións do curriculum.
4. Levo anos usando esta historia, máis ou menos, e o máis curioso do conto é que se me ocorreu unha vez improvisando na aula ante a desesperación dun alumno ante esa regra de cálculo. Non podo garantir, como sempre, que me viñese no momento ou que en realidade a tirara dalgunha fonte que non lembro. Un dano colateral producido por ler tanto: xa non me chega a memoria.

E agora estaredes pensando que este profesor comparte cousas que fan todos os compañeiros máis ou menos. Pois é probable, pero é imposible de saber. O que si é seguro é que o fago eu.

Un problema de optimización nun triángulo

Hai anos, na época previa incluso aos blogs(un chisco máis, e collédesme xogando ao Age of Empires II), adoitaba participar en distintos foros nos que os usuarios propoñían problemas. Algúns xa desapareceron, como 100cia.com ou o Foro de Migui; outros sobreviven, como o Rincón Matemático, onde estiven a ler algúns problemas nos que acheguei unha solución(ou tentativa de), hai arredor de 10 anos. Hoxe traio un dos que máis me gustaran:

Un punto X tomado na hipotenusa dun triángulo rectángulo, proxéctase ortogonalmente sobre os catetos nos puntos M e N. Determinar a posición do punto X e a lonxitude do segmento MN cando esta sexa mínima:

    

Vémonos no 2019.

Un bo problema, a varios niveis

Este curso adiantamos as avaliacións respecto ao "calendario natural", pois a volta da Semana Santa, Chamorro para os ártabros do norte, cadra coa Feira de Moeche; ou se sodes doutras latitudes, co Día do Libro. Polo que xa rematei os exames e xuntas da 1ª Avaliación, e tiven un anaco nesta ponte para revisar pdfs e djvus do disco duro.

No cartafol Miscelánea estiven a botar unha ollada a Hidden Connections, Double Meanings, do sempre interesante David Wells(antes neste blog, aínda antes), e atopei un problema, se ben lixeiramente familiar, coido que nunca o vira deste xeito.

Imaxinemos un insecto que parte dun punto A e anda 1 metro nunha certa dirección, chegando a un punto B. En B xira 90º á esquerda e anda medio metro, chegando a un punto C, onde volve xirar 90º á esquerda e avanzando un cuarto de metro. Se continúa o seu camiño espiral deste xeito, sempre xirando 90º á esquerda e avanzando a metade do tramo anterior, a onde chegará no límite?

Como sempre, cun debuxo, mellor:

    

Este problema enche o capítulo 11 do libro, One problem, many solutions, onde o autor propón 3 solucións distintas: unha xeométrico-aritmética, unha puramente xeométrica e finalmente unha puramente aritmética. (Nota: ningunha desas solucións foi a que atopei eu).

Porén, o que me resulta máis atractivo do problema é a posibilidade de darlle un tratamento experimental. No curriculum de Matemáticas I temos que facer estudos xeométricos mediante programas informáticos, que é un xeito de aludir ao geogebra sen nomealo. Quizais este ano mande estudar configuracións semellantes a esta, onde poidamos combinar certos movementos, supostamente estudados na ESO. Verei.

Déixovos unha pista para a 1ª solución que achega David Wells. Unha fermosura:

    

Por último: de que xeito resolvín eu o problema? Pois

SPOILER

Sumando unha serie xeométrica de números complexos.

Cando teña ganas de escribir solucións pode que a comparta.

Unha actividade recorrente en 1º de ESO

Para practicar e reflexionar sobre a xerarquía de operacións en 1º de ESO adoito propoñer algún exercicio deste estilo:

Coloca parénteses(ou non) para obter o resultado indicado:

$$144-24:8-2= \hspace{1cm}140$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 139$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 20$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 143$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 13$$

É inevitable que algúen proteste porque as operacións son todas iguais, momento no que se explica o que significa o enunciado do exercicio, é dicir, por que ten sentido.

Aínda que en exemplos como o anterior, ao seren tan breves, os alumnos poden resolver o exercicio  por aburrimento, simplemente probando todas as opcións, elaborando un chisco máis a actividade sobe un chanzo a dificultade e o nivel de reflexión necesario para resolvela.

Pois ben, este ano por primeira vez pensei en improvisar unha actividade semellante a partir dos erros que van cometendo os meus alumnos. Por exemplo, ao comentarmos unha operación do libro de texto,

$$28-3 \cdot 2 \cdot 4=$$

ademais do resultado correcto, 4, escoitouse un 200. En troques de apuntar eu a evidente corrección, aproveitei para preguntar á clase que sucedera. Varias alumnas xa o sabían, polo que preguntei aos que non foran tan rápidos onde habería que colocar parénteses para obter 200.

Agora que o penso, non sei como non fixera isto antes, co natural que resulta.

Este exercicio ou algo semellante tamén ten o seu oco na unidade de Números Enteiros, onde resulta máis difícil:

$$-24:3+3= ~~~~~-4$$

$$2 \cdot 7-5-1= ~~~~~10$$

$$+7 \cdot (-5)+3= ~~~~~-14$$

$$-3+3 \cdot (-3)-(+3)= ~~~~~-21$$

$$-3-5-2= ~~~~~+7$$

Aviso: o último ten truco.

Outra actividade, que xa adoito propór na unidade de Números Enteiros, ás veces en 2º de ESO, supón un paso máis. Velaquí:

Coloca os números nos espazos para obter o maior número posible:

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square + \square-\square$$

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square - \left( \square+\square \right)$$

$$-2,0,+4 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square-\square \right)$$

$$-3,-2,+5 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square+\square \right)$$

P.D.: Non sei se estas actividades serven de algo, avaliar iso no contexto da aula resulta demasiado confuso. Na práctica diaria, o único no que se pode apoiar un profesor é na súa propia intuición, pois a administración non responde da docencia impartida baixo a súa responsabilidade, e as investigacións serias levadas a cabo nas universidades adoitan ter outros obxectivos e motivacións. Por non falar da xerga propia do gremio, que fai esotérica a maioría dos papers para os non iniciados. Pero vaia, estes exercicios son divertidos, que non é pouco no contexto das operacións combinadas.