Un trapecio e moitas paralelas

A primeira revista SUMA da FESPM que teño na casa é a número 56, de novembro de 2007. O outro día collina da balda, abrín ao chou e atopei un artigo de Claudi Alsina titulado Necesitamos más medios... y más medias. Ao final deste artigo aparece un problema que xoga con segmentos dentro dun trapecio. Alsina atribuía a autoría do problema a E.Beckenbach e R. Bellman, mais non indicaba a fonte, polo que fun buscar que libro era destes autores, que teñen unha fermosa Introduction to Inequalities e unha obra previa, laconicamente titulada Inequalities, que só recomendaría a fans hardcore das desigualdades(confeso que só mirei o índice e xa pedín papas; quizais fixeron a posterior Introduction por algo).

Sen máis dilación, ao choio.

Observade o seguinte trapecio, de bases a e b:

    

O exercicio consiste en calcular as lonxitudes dos segmentos paralelos ás bases marcados na figura:

• EF, que pasa polo punto de corte das diagonais.

• KL, que cumpre que os dous trapecios KLCD e ABLK son semellantes.

• GH, que está á mesma distancia de AB e de CD.

• MN, que fai que os dous trapecios ABNM e MNCD teñan a mesma área.

E loxicamente, se vistes o título do artigo de Claudi Alsina e o libro onte atopei logo o problema, teredes que facer algo con eses valores. Non digo máis.

Unha adiviña de visualización

Podedes dicir que esta entrada non é exactamente matemática, pero vaia, se vedes as entradas dos dous/tres primeiros anos do blog(exemplo 1, exemplo 2) tampouco é que isto fose Gaussianos.

Porén, isto é tan fermoso que non podía reprimirme.

Veña, sen máis dilación, que é isto?

Que blogger poña embaixo das fotos "Engadir lenda" neste caso cobra máis sentido

    

    

    

     

Pero esta adiviña tamén ten un aspecto matemático, relevante para a docencia en secundaria:

Unha vez que xa saibades de que vai o conto, hai algunha outra visualización axeitada para representar os datos? Que parámetros estatísticos contarían a historia tras estas gráficas?

Se acertades a adiviña e estades interesados, xa porei a fonte das gráficas.

Un xogo de puzzles 2D no espazo 3D

O título vén dado polo autor, Peter Lavigne, e na miña opinión é imposible melloralo.

O xogo chámase Orakyubu, e mestura, como facía Continuity(que quedou no limbo pola morte morrida do Flash), os puzzles dentro dunha pantalla cos crecacabezas clásicos. Mentres que en Continuity había que fedellar con pantallas bidimensionais que tiñamos que encaixar para poder resolver os puzzles, de novo, bidimensionais, en Orakyubu as pantallas son cúbicas, e hai que fedellar con elas no espazo co mesmo obxectivo.

Captura autoexplicativa

Non conto máis. Ide probar e veredes que este xogo tiña que vir ao blog.

Un asunto controvertido das Matemáticas de instituto

Todos os anos, cando chego á continuidade de funcións en Matemáticas I e introduzo o concepto e tento que a definición resulte natural, os alumnos non o saben, pero eu estou morrendo por dentro. Levaba un tempo coa idea de dedicar unha entrada a este fenómeno, e deume por buscar pola rede e resultou que dúas investigadoras da didáctica das Matemáticas na Simon Fraser University, Gaya Jayakody e Rina Zazkis, escribiron un artigo en For the Learning of Mathematics, Continuous Problem of Function Continuity, plasmando punto por punto as miñas ideas. Se ledes con fluidez inglés, tedes permiso para marchar deste blog e non mirar atrás.

A continuidade non aparece de xeito explícito no curriculum da ESO, aínda que se entende que en 3º e sobre todo en 4º é unha das "características das funcións" que aparecen nos contidos, xunto co crecemento, a periodicidade, os cortes cos eixes, etc. Se es un profesor dos que non mira o DOG, nos libros de texto sempre vén, problem solved. E se ves un libro de texto onde non se mencione como definición de continuidade que se poida debuxar a gráfica sen erguer lapis ou xiz, chanta captura nos comentarios. Obrigado.

En 1º de bacharelato, aproveitando a maquinaria que proporcionan os límites, xa é posible introducir o concepto contemporáneo de continuidade, mais o certo é que a definición rigorosa é esvaradía. Habitualmente a definición de función continua nun punto adoita ir así:

f é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se:

• $c \in Dom(f)$
• $ \exists \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)$ 
• $ \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)=f(c)$

E f non é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se algunha das condicións anteriores non se satisfai.

Claro, non?

Tres condicións que hai que cumprir para que unha función sexa continua nun punto, se non se cumpre unha, non será continua. E logo adóitase definir función continua como a que é continua en cada punto. Parece lóxico e pulcro, non?

E despois veñen os exemplos:

Función continua no punto que queiras,
OK, bonita, fermosa, TODO BEN

A ese punto despistado chamámolo descontinuidade evitable.
Se non hai o punto cheo azul, tamén

A isto salto finito

E a isto salto infinito

Estándar, non?

Pois algo tan aparentemente ben definido dá lugar a moitos problemas, algúns puramente nominais e outros máis profundos. Vexamos antes unha cuestión das non esenciais. 

Como lle chamaríades a esta descontinuidade?

Que é descontinua está en discusión?

Esta cuestión non é esencial porque, simplemente, non temos por que poñerlle nome a todas as eventualidades que xurdan. Vaiamos a cousas máis serias.

Observade a seguinte gráfica:

Que diríades agora? A función é continua en x=-4, poñamos por caso? E que opinades da función globalmente, é continua?

E esta outra?

Ten que haber un fenómeno semellante á pareidolia cando
ves gráficas e recoñeces formas máis complexas, seguro.
Estou ben, estou ben.    

Ides vendo o problema da definición? Se o punto non está no dominio, non hai continuidade, pero parece obvio que iso só soa ben a descontinuidade cando o punto que non está no dominio está preto de puntos do dominio. Para saber que significa preto, necesitamos a noción topolóxica de punto de acumulación. Na gráfica anterior, por exemplo, o punto x=0 non é de acumulación do dominio, polo cal non se ve axeitado considerar aló a continuidade. Mentres que nunha descontinuidade evitable o punto é o límite dunha sucesión de puntos do dominio; pensade vós que sucede nun punto onde hai un salto finito, nun cun salto infinito ou nun onde os dous límites laterais valen $+\infty$.

 

Cando un estuda o concepto de continuidade na carreira, ve que o contexto natural é o dos espazos topolóxicos, onde chegamos á definición global:

Unha función f entre dous espazos topolóxicos A e B é continua se a imaxe recíproca de calquera aberto V do espazo B é un aberto no espazo A, i.e., $$f^{-1}(V) \in \mathcal{T_A} \  \forall V \in \mathcal{T_B}$$

E nese contexto, considerando que en $\mathbb{R}$ temos a topoloxía usual como espazo métrico(a métrica é o valor absoluto ou calquera das infinitas equivalentes), podemos pensar agora nos exemplos anteriores se existe algún aberto cuxa imaxe recíproca non sexa un aberto, para o cal chega con analizar a imaxe recíproca dos intervalos abertos, que forman unha base da topoloxía.

Se imos á continuidade local, unha función será continua nun punto $x \in A$ se para toda veciñanza V de $f(x)$, existe unha veciñanza U de x tal que $f(U) \subset V$ (vedes o $\epsilon $ e o $\delta$ como se achegan reptando por aí?)

E aínda podemos utilizar unha caracterización secuencial da continuidade:

f será continua en $x \in A$ se a imaxe de calquera sucesión converxente a x é unha sucesión converxente  a $f(x) \in B$

Parade un chisco e notade que estas definicións presupoñen que o punto no que analizamos a continuidade forma parte do dominio da función. 

Concluíndo, a miña opinión é que a confusión coa definición de continuidade de instituto emana de 2 factores:

• A necesidade dos libros de texto de compendiar, de crear unha falsa ilusión enciclopedista. Todos os casos teñen que estar clasificados e enumerados.

• O feito de trabucar que unha función sexa continua con que a súa gráfica sexa homeomorfa á recta real, é dicir, que se poida establecer unha bixección continua coa recta real que ademais teña inversa continua. Que é unha propiedade ben máis forte que a mera continuidade.

Recoñezo que esta é unha teima persoal(si, outra), pois sempre que o falo con compañeiros, todos están contentos coa situación. E como finalmente na ABAU o que van ter que facer é calcular o valor duns parámetros para que unha función sexa continua, pois todo correcto, señor axente. Só padecerán as consecuencias os alumnos se estudan Matemáticas máis avanzadas e os seus profesores. Pero iso é noutra xanela.

Procedementos que nunca levei á aula

 Observade esta inecuación:     $$2 \left| x-2 \right| \geq \left|x+1\right|$$

Unha inecuación así podería aparecer nunha folla de exercicios do comezo de Matemáticas I, mais  dada a dificultade técnica que entraña, non estou certo de se algunha vez puxen algo semellante. O típico exercicio nese curso ten un aspecto como este, despois de manipulacións alxébricas: $$ \left| x-1 \right| \geq 3$$

, onde vemos que só aparece un valor absoluto, o que fai que poidamos fundamentar o algoritmo de resolución na caracterización do valor absoluto como distancia á orixe ou $\left| x-a \right|$ como distancia ao número a, que é consecuencia do anterior.

Pero utilizar esa aproximación á inecuación orixinal implicaría ter que buscar os números reais x que cumpren que o dobre da distancia de x ao 2 é maior ou igual que a distancia de x ao -1. Non parece moi operativo.

Co cal, o procedemento estándar(coido) para resolver unha inecuación así consiste en eliminar os valores absolutos utilizando de xeito intelixente que $\left| x\right|^2=x^2$, xunto co feito de que en $(0,+\infty)$, a función elevar ao cadrado é crecente:

$$\left[2 \left| x-2 \right| \right]^2 \geq \left[\left|x+1\right|\right]^2$$

$$4 \left( x-2 \right)^2 \geq \left(x+1\right)^2$$

E queda unha inecuación de 2º grao, propia de 4º de ESO, neste caso obtemos como solución $\left(-\infty,1 \right] \cup \left[5,+\infty\right)$

Ata aquí o que fixen/faría eu na aula. Pero nunca levei a cabo un enfoque máis obvio e menos artificioso, case dá vergonza dicilo: DEBUXAR AS GRÁFICAS DAS MALDITAS FUNCIÓNS.

Podería parecer que este método gráfico só vai dar unha aproximación á solución, pero o mero feito de debuxalas e notar que cada valor absoluto é unha función con dous anacos, fai que sexa máis sinxelo resolvelo tamén de xeito alxébrico, exacto.

Observade as gráficas:

Calquera variación vén dando unha figura análoga

Vemos que a rama decrecente da gráfica verde está por riba da vermella ata o 1, e a crecente da verde está por riba da vermella desde o 5. Isto tamén pode servir como inicio dunha discusión: cambiando as pendentes das funcións verde e vermella podemos obter solucións con aspecto distinto á inecuación?

Quizais sexa máis sinxelo razoalo cos cadrados, por iso de que os alumnos a estas alturas xa saben o nº máximo de solucións dunha ecuación de 2º grao?

Vexamos outro exemplo dun método que nunca levei á aula. En 1º de bacharelato unha das técnicas que se ensinan é o cálculo das asíntotas dunha función elemental, do estilo $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$

A técnica que emprego eu sempre vai así:

1. Observamos rapidamente que puntos teñen pinta de dar problemas, neste caso x=-2, e comprobamos se existe o límite neses puntos, se é finito ou non. No exemplo o límite pola esquerda é $-\infty$ e o límite pola dereita é $+\infty$, polo que hai unha asíntota vertical aí. Isto é o máis sinxelo do exercicio, pero algúns alumnos, influídos polo que fan en clase particular, cren que se o punto non está no dominio xa vai haber asíntota vertical, o que é obviamente falso, como podemos ver con $g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$
2. Despois pasamos ás asíntotas horizontais e ás oblicuas, que son excluíntes "polo mesmo lado". Miramos o límite en $\infty$ e $-\infty$, se o límite é finito e igual a k, temos asíntota horizontal $y=k$, se non é finito, pode que teñamos asíntota oblicua, para o cal hai que ver a "velocidade" do límite, comparando coa recta y=x
3. E dicir, calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$, que nos vai dar a pendente da asíntota se é finito e igual a m. E finalmente calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-mx]$ que nos dará a ordenada na orixe da asíntota oblicua.

Pois ben, cando un profesor (ou un alumno que entenda) ve unha función como $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$ sabe perfectamente que vai ter unha asíntota oblicua, dado que a función no infinito é como un polinomio de 1º grao. De feito vin compañeiros en twitter falar de que sempre facían o seguinte:

1. Efectúan a división implícita na función racional, $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$
2. Á vista da expresión de cociente e resto, como a fracción do final é nula no infinito, f(x) compórtase como a recta $y=3x-7$

E xa temos a expresión da asíntota oblicua. Dependendo do aspecto do cociente, teremos asíntota horizontal(se é un escalar), oblicua (se é un polinomio de grao 1) ou ramas parabólicas(se é de grao superior a 1). Por que nunca levei isto á aula, aínda que o teño comentado e boto as contas de memoria* usualmente? Basicamente porque en ningún lugar do curriculum restrinxe o cálculo de asíntotas a funcións racionais, aínda que é o que máis se fai, e vai aparecer noutros momentos, como no do crecemento das funcións na unidade de derivadas. Que pasaría coas seguintes funcións daquela?

$$h(x)=\sqrt{4x^2+1}\ ,\ \ i(x)=\log\left( \frac{1}{x}+3\right)$$

*En realidade o que fago é  $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=\frac{3x^2+6x-7x-14+14+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$, pero vaia, vén sendo o mesmo.

Por último, outra técnica que nunca levei á aula é o famoso novo método para resolver a ecuación de 2º grao que resultou non ser novo, como amosa esta entrada no blog de Don Steward. Esta situación é distinta ás anteriores, nas que si coñecía os métodos había tempo. Lembremos as posibilidades para resolver a ecuación xeral de 2º grao:

• Podes resolvela coa fórmula, o que semella ser o máis común a nivel español.
• Podes completar o cadrado, de xeito alxébrico ou de xeito puramente xeométrico, sendo isto último o máis raro por aquí(estou supoñendo).
• Se a ecuación é sinxela abondo, podes utilizar as identidades de Cardano-Vieta a ver se tes sorte.

Hai máis xeitos, pero normalmente necesitan que a ecuación sexa moi sinxela. Vexamos agora o non-tan-novo método cunha ecuación que non meta moito medo, $x^2-2x-3=0$

Esencialmente imos utilizar as identidades de Cardano-Vieta para reformular a ecuación. Como as dúas raíces da ecuación teñen que sumar 2, podemos escribir sen perda de xeralidade que terán o aspecto $1+y$ e $1-y$; e como o seu produto ten que ser -3, teremos a ecuación: $$(1+y)(1-y)=-3$$

E obtemos unha ecuación incompleta, que polo menos eu traballo previamente na aula:

$$1-y^2=-3 \rightarrow y^2=4 \rightarrow y= \pm 2$$

Só quedaría desfacer o cambio de variable, se $y= \pm2$, entón as raíces da ecuación orixinal son $-1, 3$

Vexo claro que este xeito de resolver ecuacións non é axeitado para 2º de ESO, cando aparecen por primeira vez no curriculum, pero en 4º xa é a segunda vez que amoso Cardano-Vieta, e tamén aproveito para introducir algunha ecuación cun parámetro, do estilo $x^2-(2n+1)x+n^2+n=0$, se este ano dou 4º pode que apareza dalgún xeito. Quen sabe.