Límites e a ecuación de 2º grao

Estaba a escoitar de fondo o podcast de Craig Barton, concretamente o episodio no que entrevista a Anne Watson e John Mason(se non sabes quen son estes dous expertos, fai unha pescuda e prepárate para mergullar en reflexións sobre educación matemática da máis alta calidade), cando apareceu o tema das ecuacións de 2º grao e como introducilas na aula. E isto fixo que viñese á memoria un aspecto da ecuación de 2º grao que coñezo desde antes de ser profesor e que sinceramente, non sei como é de coñecido entre os compañeiros. Pode ser que sexa ben coñecido, e que veña ata en libros de texto, e eu aquí facendo unha entrada sobre o tema, todo inocente. Sede xenerosos e comentade se o coñecíades unha vez leades a entrada.

Partamos da ecuación de 2º grao en forma xeral, $ax^2+bx+c=0$, e a consabida fórmula da solución, $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Fixemos os coeficientes b e c, e xoguemos co coeficiente cuadrático, a, que é o que lle confire o carácter cuadrático á ecuación (e a concavidade...), en concreto fagamos que a tenda a cero. Que sucede na fórmula se b e c permanecen fixos pero a tende a 0? Se queres pensalo, demora a lectura do que vén... Para evitar que leas sen querer a resposta, comparto este φ-fail:

Que conste que vén sendo tan rigorosa como
outras aparicións de φ que se ven por aí...

Imos aló. Restrinxiremos o noso choio á primeira solución, na que collemos o valor positivo da raíz cadrada(a función, vaia).

O primeiro que se ve no límite é que, se aplicamos a aritmética elemental de límites, chegamos a unha indeterminación $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{a\to 0} \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+b}{0}=\frac{0}{0}$$

O xeito estándar de resolver esta complicación é puro traballo da aula de 1º de bacharelato(ou de 2º de BUP, se vas tendo unha idade):

$$\lim_{a\to 0} \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\lim_{a\to 0} \frac{ \left(-b + \sqrt{b^2-4ac} \right) \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=$$ $$ \lim_{a\to 0} \frac{(-b)^2-\left( \sqrt{b^2-4ac}\right)^2}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)} =\lim_{a\to 0} \frac{4ac}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=$$ $$\lim_{a\to 0} \frac{2c}{\left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=\frac{2c}{-2b}=-\frac{c}{b}$$

E que significado ten este valor que atopamos, $-\frac{c}{b}$?

Pois, se por un momento, permitimos alegremente facer tender a 0 o coeficiente a na ecuación orixinal, $ax^2+bx+c=0$, que lle sucede á ecuación? Obviamente, que deixa de ser unha ecuación de 2º grao e se converte en $bx+c=0$. E cal é a solución desta ecuación? $-\frac{c}{b}$ (BOOM)

Coñecíades este pequeno feito? Funcionará do mesmo xeito o caso cúbico?(temos o pequeno obstáculo previo de que normalmente sempre comezamos resolvendo a ecuación normalizada $x^3+px=q$ ou similares). E que pasa coa solución coa raíz negativa?

Este feito ten pouca entidade, aínda así confeso que ten un aquel que me presta.

Máis problemas doutros países

Non é a primeira vez que comento exames de acceso doutros países. Hai menos dun ano compartín parte do Bac francés no blog, e en twitter xa teño falado das probas portuguesas.

Pois evitando o abafante traballo que temos os profesores no confinamento, deume por revisar revistas pola rede, e dei cun artigo en Mathematics in School sobre probas da antiga URSS. Os lectores máis antigos xa saberán o medo cerval respecto que lles teño aos problemas que propoñían na época soviética, os máis recentes da miña lexión de seguidores poden comprobar do que falo en Primeiro Problema dun libro(case once anos van no lombo). Observade estes problemas de reválida e ás idades ás que ían dirixidos, e xulgade vós se non son para terlles un chisco de respecto:

Grao 8 (~2º de ESO):

• Resolve o sistema de ecuacións $\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \\ x^7+y^7=x^3 y^4+1 \end{cases}$
• En 99 cartas están escritos os números 1, 2, 3, ..., 99. Barallamos e espallamos as cartas, deixando o dorso, en branco, á vista. Escribimos os números 1,2,3, .., 99 nos dorsos. Para cada carta, sumamos os dous números que ten escritos, e multiplicamos as 99 sumas obtidas. Demostra que o resultado final deste procedemento ten que ser un número par.

Grao 9(~3º de ESO):

• Debuxamos 3 circunferencias, cada unha delas pasa por 2 vértices duhn triángulo acutángulo e polo ortocentro do triángulo. Amosar que as tres circunferencias teñen o mesmo diámetro.
• Atopar todos os números primos p e q que cumpren a ecuación $p^2-2q^2=1$
• Unha táboa rectangular contén un número diferente en cada cela, e ten a propiedade de que cada cela que non está no bordo da táboa contén un número que é a media aritmética dos seus 4 veciños(en horizontal e vertical). Demostrar que a cela que contén o máximo dos números da táboa ten que estar no bordo da táboa.

E o meu preferido, tamén para grao 9, pero como problema avanzado, non de reválida:

• Atopar todos os números naturais (x, y, u, v) que cumpren $\begin{cases} x+y=uv \\ u+v=xy \end{cases}$

 

Deixando a un lado a discusión sobre o apropiados que (non) son para esas idades estes problemas, non son unha marabilla?

Un ítem famoso

O mundo dos exames estandarizados ten o seu propio folklore. Nos países anglosaxóns, que levan décadas publicando as cuestións das probas, é habitual atopar novas sobre exames máis difíciles do esperado/esperable, probas con erros, etc. Neste blog xa compartín algunha vez ítems que se fixeron famosos nos últimos anos, ou ben no SAT americano, ou ben no GCSE británico, ou ben nos semellantes que hai en Australia, Nova Zelandia, etc.

Como mostras: 1, 2, 3, 4

En troques, os exemplos de probas externas de España que compartín nesta entrada daban máis risa ou vergonza allea que outra cousa.

Outro mundo totalmente distinto é o das competicións e olimpíadas matemáticas, nos que o feito de que apareza un problema especialmente difícil ou que requira unha dose inusual de creatividade é visto como algo positivo. É ben coñecida a lenda da imposible cuestión número 6 dunha olimpíada matemática internacional, e é moi instrutivo o vídeo que lle dedicaron en Numberphile.

Pois ben, probablemente o ítem máis coñecido dun exame estandarizado é o que apareceu no PSAT(Preliminary Scholar Aptitude Test) de 1980, que dicía o seguinte:

Nas pirámides ABCD e EFGHI que se amosan na figura, todas as caras agás FGHI son triángulos equiláteros co mesmo lado. Se a cara ABC é colocada sobre a cara EFG de tal xeito que os vértices dos triángulos coinciden, cantas caras á vista tería o sólido resultante?

a) 5                 b) 6                 c) 7                 d) 8                 e) 9

Por que é tan famoso este ítem? 

Porque, como conta Howard Eves no seu libro Return to Mathematical Circles, o comité que creara o ítem deu por boa unha resposta incorrecta. E isto non se soubo ata que un rapaz de 17 anos, Daniel Lowen, atopou a resposta correcta e foi teimudo abondo para non admitir que lle desen por mal a súa resposta. Ata que o seu pai se puxo en contacto co Educational Testing Service

O voso choio consiste en dúas tarefas: 1º) atopar a resposta correcta e 2º) adiviñar cal era a resposta incorrecta que o comité dera por válida, e por que.

   

Facer tests

Construír probas tipo test é unha arte que require diferentes destrezas. Se queremos que a puntuación plasme con certa fiabilidade os coñecementos do examinado, temos que evitar que se poida pasar a proba recorrendo ao mero azar. Do xeito de evitar esta eiva falou Gaussianos neste artigo no País, onde deduce canto ten que restar cada fallo para que a nota esperada contestando ao chou sexa un 0. Claro que non todos os que elaboran os tests, sobre todo na universidade, teñen como obxectivo o de seren xustos. No único exame que fixen na carreira onde había un test, Métodos Numéricos I, cada fallo baixaba como un acerto, por sorte a materia era sinxela...

Confeso que eu fixen poucos tests como profesor, e os que fixen sempre funcionaron como avaliación formativa. Non estou certo de se esta escaseza provén dunha desconfianza nos tests como método avaliador ou da dificultade para elaboralos(a correción estaremos todos de acordo que é un punto a favor). Ademais da problemática analizada no devandito artigo, elaborar ben un test require preocuparnos non só de escoller ben os ítems, senón tamén de escoller ben as respostas incorrectas. Se cada ítem ten 4 opcións de resposta, as tres incorrectas deben ter un significado, unha intencionalidade. Deixando a un lado que ás veces podo querer facilitar a resposta correcta, por variadas razóns, usualmente inclúo unha resposta suficientemente absurda para que só a escolla quen non teña nin idea ou non estea prestando atención. Para introducir as outras dúas respostas hai que ter máis coidado. Normalmente asigno un erro común a cada unha, aínda que tamén teño encadeado dous, dependendo de se o procedemento examinado é o suficientemente longo.

Poñamos un exemplo trivial de posible ítem:

Cal é a solución da ecuación $6x=3$?

a) $2$	b) $\frac{1}{2}$	c) $9$	d) $-3$

Neste exemplo a opción absurda é 9, pois habería que sumar os coeficientes para obtela. Das dúas opcións incorrectas pero con xeito, a) corresponde a dividir 6 entre 3 en troques de 3 entre 6, e d) corresponde a restar 3-6. Tamén hai que ser consciente de que nun ítem así, pode haber alumnos con picardía que intúan que a resposta correcta será probablemente a que teña o aspecto máis raro.

Comparto un test deste mesmo ano, proposto na miña titoría.

Unha consecuencia de elaborar os tests deste xeito é que, cando os corriximos en clase, dan lugar a unha actividade posterior: adiviñar a intencionalidade de cada resposta incorrecta, como seguramente estaredes a facer vós.


Curiosamente comecei esta entrada pensando en falar dun ítem famoso dun test, tema que agora queda para a vindeira entrada.

Uns puzzles só para pensar

Par+Impar=Par? Descansa, Wiles.

Na anterior entrada compartín uns puzzles cun certo aquel físico, nos que había a posibilidade de coller coas mans os obxectos que aparecían neles para axudar ao razoamento. Os problemas de hoxe, en troques, son puramente técnicos. O que ten o seu lado bo, como entenderedes neste chiste:

Un día estaba o director do departamento de Física dunha universidade preocupado polos gastos de laboratorios e equipamentos. "Por que non podedes ser como os vosos compañeiros de Matemáticas? Eles só necesitan cartos para lapis, papel e papeleiras. Ou mellor aínda, sede como os compañeiros de Filosofía. Só necesitan lapis e papel"

Pois ben, hoxe abonda con papel e lapis, e nalgún caso nin papel nin lapis son necesarios.

• Por que non pode existir un poliedro que teña exactamente 7 arestas?


• Sodes quen de atopar unha curva no espazo que corte a todos os planos mais só nun número finito de puntos?(Bonus: e se é finito pero sen límite superior?)


• É ben sabido que $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é numerable, pois é consecuencia dun teorema moito máis forte: o produto cartesiano finito de conxuntos numerables é numerable. Por tanto non debe ser difícil atopar explicitamente a expresión alxébrica dunha bixección entre $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$  e $\mathbb{N}$. É máis, pódese atopar unha bixección polinómica. Ánimo.


• Na unidade de Divisibilidade de 1º ou 2º de ESO cabe a posibilidade de que apareza a seguinte igualdade: $$[a,b] \cdot (a,b)=a \cdot b$$, onde [a,b] representa o mínimo común múltiplo de a e b, e (a,b) o seu máximo común divisor. A demostración é sinxela se un sabe previamente como calcular o m.c.m. e m.c.d. a partir dos factores primos de a e b. Pensemos agora en tres números, a, b e c. Haberá unha fórmula análoga para o produto de a, b e c? A analoxía perfecta non se cumpre, como podedes ver cun caso calquera, p.ex. 6·8·15=720, mentres que [6,8,15](6,8,15)=120 · 1


• Collamos nun cubo dúas diagonais que se crucen, na figura debuxei BD e EG. Se collemos puntos calquera M en BD e N en EG, e atopamos o punto medio do segmento MN, P, que lugar xeométrico percorre P cando M e N varían?

E se as diagonais non se cruzan?

Xa tedes para pensar un anaco cando descansades de limpar a casa.