Un erro común en Álxebra elemental

 

Observade este problema rutineiro, típico das aulas de 1º e 2º de ESO:

Temos dúas bolsas coa mesma cantidade de bólas. Metemos 10 bólas na 1ª bolsa e quitamos 15 da 2ª bolsa, de tal xeito que agora a 1ª bolsa ten o dobre de bólas que a 2ª. Atopa o número de bólas que tiñan as bolsas ao comezo.

Xa sabedes como vai o asunto, hai que decatarse de que inicialmente as bolsas teñen a mesma cantidade, chamémola x, despois eviitar o recordo de problemas semellantes máis enleados (nos que dunha bolsa ou similar pasamos a outra, típicos os de dar cartos), e traducir esta situación máis sinxela, que tampouco dá máis xogo:

$$x+15=2(x-10)$$

E se levades un tempo no oficio, lestes sobre o tema ou coma min, xa vistes estes erros cando explicabades aos vosos amigos de cativos o día antes do exame, saberedes que é común que haxa respostas deste estilo:

$$2(x+15)=x-10$$

Inciso para valorar a picardía dalgúns alumnos: como a solución correcta da ecuación incorrecta dá lugar a un número de bólas negativo, hai cativos que daquela riscan o 2 e chántano no membro correcto. Un brinde por eles, que polo menos analizan se a solución ten sentido.

Todos os que damos clase nos primeiros niveis da ESO sabemos que sucede: o alumno le que a 1ª bolsa ten o dobre de bólas que a 2ª e asigna ese coeficiente 2 á 1ª bolsa, pois "o dobre" aparece xusto despois de "1ª bolsa" no texto. Pero o erro vai máis alá, pois se tentamos que os alumnos trabucados lean a ecuación incorrecta dándolle significado, van persistir no erro, con frases como "claro, se a 1ª bolsa ten o dobre que a outra, hai que poñerlle o 2 a x+15"

Ante este tipo de erros sempre me vin inerme, como adoita ocorrer en situacións elementais nas que non hai moito que roer, pois non hai moitas etapas/partes incluídas: é tan simple que ou ves o asunto, ou non o ves. Algo semellante á igualdade difícil de ver desta entrada de logaritmos, o alumno trabucado ten que ter unha epifanía persoal, pouco podo facer eu como profesor. De feito, máis dunha vez, chegados a un bloqueo, emprazo ao alumno a pensalo pola súa conta e volver sobre o conto nunha clase posterior. O cal é un chisco unha mentira, pois ás veces non funciona.

O problema do comezo creeino para poñer algo de tradución á álxebra no exame da 2ª avaliación en 2º de ESO, ao atopar outra vez algunha vez o devandito erro, deume por pescudar. E, amigo profesor, non sufras en silencio, atopei uns cantos artigos. 

En particular, Algebra Word Problem Solutions: Thought processes underlying a common misconception, de John Clement, da University of Massachusetts, pareceume especiamente interesante. No artigo Clement comenta 6 exercicios de álxebra elemental propostos nun exame de  45 minutos a alumnos de 1º de enxeñería. Os primeiros ítems non nos interesan para o asunto de hoxe, pero observade o 5º e o 6º:

5. Write an equation using the variables S and P to represent the following statement: "There are six times as many students as professors at this university." Use S for the number of students and P for the number of professors.

6. Write an equation using the variables C and S to represent the following statement: "At Mindy's restaurant, for every four people who ordered cheesecake, there are five people who ordered strudel." Let C represent the number of cheesecakes and S represent the number of strudels ordered.

Non traducín os textos porque non me gusta ningunha  das traducións ao galego que podo facer do ítem 5. Pero as ideas son evidentes.

Como todos avanzamos, a solución correcta do 5 é $S=6P$, a incorrecta máis común é $6S=P$; a correcta do 6 é $5C=4S$, a incorrecta máis común, $4C=5S$

O autor comenta que inicialmente os erros nestes ítems se consideraban provocados pola falta de atención ou coidado, pero que o feito de que houbese un patrón tan marcado de inversión dos coeficientes nas respostas incorrectas, fíxolle cambiar de opinión. Aínda dando unha pista á metade dos estudantes "Tede coidado, algúns estudantes poñen un número no lugar incorrecto na ecuación", a equivocación persistía, amosando que a dificultade era máis profunda que simplemente debida ao descoido.

Por outra banda, comenta que a dificultade segue a aparecer noutros sistemas simbólicos: tradución de figuras a ecuacións, de táboas de datos a ecuacións, e de ecuacións a enunciados, o que amosa que o "reversal error" (que bonito é o inglés para estas invencións) non é só o resultado da ordenación das palabras dun certo xeito na frase.

O autor pasa a explicar o protocolo de actuación para tentar explicar os resultados, gravando entrevistas cos alumnos de enxeñería nas que lles pedían que explicasen como traballaban no exercicio dos estudantes e profesores e similares. O autor apunta a dúas fontes conceptuais de erro: un sintáctico, o proceso  de combinación da orde das palabras, e un semántico, o proceso de comparación estática. No erro sintáctico, o estudante simplemente asume que a orde das palabras clave do enunciado vai emparellarse directamente coa orde dos símbolos que aparecen na ecuación(o que vemos todos os profesores, como mencionei antes). Chámase estratexia sintáctica porque só se base nas regras para organizar símbolos, sen ter en conta o significado das expresións. Por contra, no erro semántico* o estudante si introduce o significado de relación entre as dúas cantidades, S e P, pero trabúcase ao simbolizar a relación, pois aínda entendendo que os estudantes son máis que os profesores, asigna o coeficiente 6 ao membro incorrecto. Ademais, o signo igual para os estudantes que cometen deste xeito o erro, máis que simbolizar unha equivalencia, representa certo tipo de asociación entre grupos diferentes, e o coeficiente actúa máis como un adxectivo que como un operador.

*Confeso que non teño moi claro que quere dicir o autor co de "estático" en contraposición ao "activo" que aparecerá despois.

O artigo inclúe un esquema para representar dalgunha maneira os 2 xeitos incorrectos de proceder e o correcto, desde o punto de vista do proceso cognitivo implicado:

Globos, eu vexo globos

O artigo continúa analizando as transcricións das gravacións cos estudantes, deixando mostras de como estes conceptualizaban o que estaban a razoar. Curiosamente, aparecen ilustracións que, confeso, coido que resultarían moi difíciles de utilizar en clase, e precisamente poderían conseguir o contrario do desexado, por exemplo: 

   

Estou convencido de que esta imaxe lograría que algún alumno que fixese ben a tradución do ítem ou do meu problema cambiase de opinión e se pasase á solución incorrecta.

E como credes que remata o artigo?

"The identification of these conceptual stumbling blocks using protocol analysis should make it easier to design instructional strategies to overcome them"

Non consta que se deseñasen posteriormente esas estratexias. Nin tampouco que algún estudante de enxeñería fose danado durante o tempo que durou o estudo.

P.S.: Mentres escribía esta entrada veume á memoria un asunto onde agromaban estas dificultades na propia carreira. En Topoloxía de Superficies lembro que non era inmediato para todo o mundo traducir as típicas condicións sobre arestas, vértices e caras no contexto da determinación dos poliedros regulares usando a característica de Euler. A dificultade é obxectiva, seica.

Un padrón aritmético

 

Non sei como cheguei ao artigo de W.W. Sawyer(antes neste blog, aínda antes) A pattern in Arithmetic, publicado en abril de 1963 no xornal The Arithmetic Teacher, e sendo patrón ben coñecido, o xeito de presentalo é particularmente elegante. Observade:

Números e frechiñas, que máis podemos pedir?

Supoño que aínda que non coñecésedes previamente o patrón, xa intuídes por onde vai o conto.

Entrade no diagrama por calquera número, por exemplo polo 9, e multiplicádeo por 2, obtendo 18, e quedade só coa cifra das unidades, 8 (vaia, $18 \equiv 8 (mod 10)$; e repetide o proceso, $8\cdot 2= 16\equiv6(mod 10)$, etc. Se entrades por calquera número impar, na primeira quenda pasades ao par que ten ao lado, e de aí veña dar voltas no sentido das agullas do reloxo. O caso particular do 0 e 5 explícase por si mesmo.

Como Sawyer apunta no artigo, hai máis cousas curiosas que ver no diagrama. Por exemplo, se multiplicamos no círculo interior por 3, veremos que tamén damos voltas pero no sentido contrario ás agullas do reloxo. E xa non serve a conexión dos impares do círculo de fóra cos pares de dentro, pero entre eses impares tamén ten lugar a rotación no sentido contrario ás agullas do reloxo. Esta rotación tamén se produce se multiplicamos por 8, e poderíamos arranxar o diagrama intercambiando a posición de impares opostos(1 e 9, 7 e 3).

E se multiplicamos por 7? Nese caso obtemos rotación no sentido das agullas do reloxo, tanto dentro como fóra.

Sawyer déixao neste punto, recomendando levar este patrón á aula como xeito alternativo de practicar a multiplicación. Pero poderíamos ir un chisco máis alá, e preguntar que sucede se multiplicamos polos outros díxitos, e tentando ver relacións entre os que xeran o mesmo movemento, e tamén entre os que xeran o movemento oposto. E obviamente, facendo ver a razón de que o 5 sexa un número especial.

Nun contexto de olimpíadas ou como propostas para alumnado con talento, tamén poderíamos preguntar polos "ciclos" que xeran os produtos. Por que algúns teñen un ciclo de lonxitude 4 e outros 2? Como sempre, seguro que o amigo lector terá mellores ideas cás miñas.

Outro exercicio inverso

 

Hai 8 anos escribín unha entrada coa gráfica dunha función impar, van tantos anos xa que nin lembro a motivación que me levara a esa función en concreto. A entrada pedía que se atopase a expresión alxébrica da función sen máis axuda que a gráfica, e houbo un novo comentarista que tivo éxito, comentarista que resultou ser alumno do compañeiro Cibrán.

Hoxe vou compartir un exercicio análogo que atopei no borrador do libro Strategies of Problem Solving, da matemática da California State University Maria Nogin, 

   

Enténdese só coa gráfica e as etiquetas? A gráfica está composta por cachos alternos nos que vai coincidindo con 1+cosx e con 1-cosx. A idea é atopar unha única expresión alxébrica que se corresponda con esa gráfica. E tería máis mérito se non facedes antes as gráficas co geogebra.

Non coñecía eu o libro de Maria Nogin, en realidade cheguei a el desde The Mathematics of Various Entertaining Subjects, Vol. 3, de Jennifer Beineke e Jason Rosenhouse, que como os demais volumes desa serie, ten moitas matemáticas abraiantes dentro.

Aproveitando a marea, vou deixar outra adiviña, esta fóra do traballo da secundaria. Que transformación leva o cadrado da esquerda ao trevo da dereita? Pista: igual é máis sinxelo compoñer unhas poucas transformacións elementais de xeito consecutivo...

    

Espero que vos preste resolver a 1ª adiviña tanto como a min, e resolver a 2ª tanto como a min creala.

Máis quickies, máis ou menos rápidos

Hai 9 anos escribín unha entrada, Quickies probabilísticos, onde compartía 3 problemas, 1 deles do libro Mathematical Quickies, de Charless W. Trigg, que no prefacio do libro indicaba que comezara a sección Quickies no Mathematics Magazine en 1950 con este obxectivo:

"From time to time this department will publish problems which may be solved by labourious methods, but which with proper insight may be disposed of with dispatch"

Como o feito de que unha solución sexa elegante é algo subxectivo, e depende fortemente do coñecemento das Matemáticas que teña quen avalíe esa elegancia, a estas alturas non sei se neste blog incluiría moitos problemas que poidan denominarse de tal xeito, particularmente na etiqueta Rápidos. En calquera caso, hoxe veño compartir uns cantos dos que souben recentemente, aínda que algún teña xa os seus anos.

• Amosar que $\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=pn}^{qn}{\frac{1}{k}}=log \left(\frac{q}{p}\right)$

Q220, Joseph Andrushkiw, Mathematics Magazine, 31 (4)

• Se $k \in \mathbb{R}$, entón as liñas $x^4+kx^3y-6x^2y^2-kxy^3+y^4=0$ cortan a $x^2+y^2=1$ en 8 partes iguais

Q248, Norman Anning, MM 32 (5)  (Confeso que a falta de simetría no polinomio me causou sorpresa ao comezo)

• Que fracción ten o menor denominador no intervalo $\left( \frac{19}{94}, \frac{17}{76}\right)$

Math Horizons Winter 1993

• Amosar que $\binom{n}{1}-\frac{1}{2}\binom{n}{2}+\frac{1}{3}\binom{n}{3}- \dots \pm \frac{1}{n}\binom{n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$

Parabola, vol 32 no 1

E para rematar, un Junior Problem:

• Cando dividimos os números 31767 e 34924 entre certo divisor de 3 cifras, obtemos o mesmo resto, tamén de 3 cifras. Atopa o resto.

Parabola, vol 9 no 2

Sede indulxentes co carácter elegante destes problemas. Ás veces di máis do que propón o problema que do problema per se.

Números que non son múltiplos de 3

 Un dos blogs máis activos que segue a haber no mundo das Matemáticas é o de John Cook, The Endeavour. Hai anos que o teño no meu lector de feeds, mais a miúdo paso por riba das publicacións sen prestar a atención debida. Hoxe levaba días sen abrir o feedly e dei coa entrada Beatty's Theorem, e non creo que me trabuque se digo que moitos coñecemos este resultado cando o atopamos no formidable Ingenuity in Mathematics, de Ross Honsberger, na súa tradución ao castelán na colección La Tortuga de Aquiles, Ingenio en Matemáticas. O teorema afirma que se colles dous números irracionais a e b tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$, entón as dúas sucesións $\lfloor{na}\rfloor$ e $\lfloor{nb}\rfloor$ conteñen todos os números naturais sen que haxa repeticións, é dicir, cada número natural está nunha desas dúas sucesións é só nunha. Este tipo de resultados non adoitan aparecer na carreira de Matemáticas por peculiares e afastados do canon que hai que tratar. Ata o punto de que, se teño que remexer na memoria, só lembro unha proposición non elemental(nin conxuntista nin de medida) na que interviñese o feito de que un número fose irracional, e sucedeu en Sistemas Diferenciais e Grupos de Lie: se colles unha liña recta que forma un ángulo α coa horizontal e segues a súa traxectoria pola superficie dun toro ($\approx \mathbb{R}^2/ \mathbb{Z}^2$), o camiño é homeomorfo a unha circunferencia se α é racional e a $\mathbb{R}$ se α é irracional(neste caso, o camiño é denso no toro). Neste enunciado abusei da linguaxe un chisco, nestas imaxes albiscaredes mellor de que fala:

  

Exemplo de curva homeomorfa á circunferencia 

Pero no capítulo do libro o que me resultara máis interesante non era este teorema, senón o que viña despois, que daba título ao capítulo: o concepto de sucesións complementarias, que aparece no Teorema de Beatty. Como podedes adiviñar, dúas sucesións son complementarias se son disxuntas e cobren todos os números naturais.

No libro, unha vez introducido o concepto, utilízao para traballar polo miúdo un caso ben intrigante: cal é o termo xeral da sucesión dos números naturais que non son cadrados perfectos? Os cadrados son ben coñecidos, o n-ésimo cadrado é simplemente n², pero quen é o n-ésimo non cadrado? Por exemplo, o sétimo non cadrado é 10,  o vixésimo non cadrado é 24, o milésimo é 1032, etc.

Non parece que a expresión dese termo xeral vaia ser completamente elemental, non si? É un exercicio complicado, dígovolo eu que a aprendín lendo o libro de Honsberger(se alguén ten interese, que contacte comigo).

Por iso pensei nun exemplo máis acaído para este blog, que pode ser resolto sen tanta maquinaria.

Cal é o termo xeral para a sucesión dos números que non son múltiplos de 3?

É dicir, cal é o n-ésimo número non múltiplo de 3?

Póñovos os primeiros termos para que teñades unha epifanía: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, ...

Será a xeneralización a calquera natural en troques do 3 máis complicada? É dicir, cal é o n-ésimo número que non é, poñamos, múltiplo de 17?

O n-ésimo número que non é triangular?

Etc.

Se formades parte do fandom deste blog, talvez lembraredes unha adiviña que propuxen unha vez e que nunca obtivo resposta, que ten certo sabor similar...