Un plano no espazo

Díxenlle a alguén que ía facer isto no blog, e aquí está: Un exercicio formal de Xeometría Afín e Euclidiana. Tendo en conta as etiquetas que levan os meus posts, é evidente que este vai ser o maior off-topic ata o momento, aínda sendo xenuinamente un post matemático. Así de paso tamén fago probas co LATEX Render.
Vexamos o que vou facer:

Atopar os vectores xeradores do plano de ecuación

\pi=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3/ \alpha x_1+\beta x_2=0\}

sendo α e β parámetros
Este plano é ademais un espazo vectorial, pois pasa pola orixe de coordenadas, así que o que imos facer é o cálculo da base de tal subespazo.
Imos aló:

\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3/ \alpha x_1+\beta x_2=0\}= \\\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3/ x_2=-\frac{\alpha x_1}{\beta }\}= \\ \{(x_1,-\frac{\alpha x_1}{\beta },x_3)\in\mathbb{R}^3/x_1,x_3\in\mathbb{R}\}= \\
\{(x_1,-\frac{\alpha x_1}{\beta },0)+(0,0,x_3)/x_1,x_3\in\mathbb{R}\}= \\
\{x_1\cdot(1,-\frac{\alpha }{\beta },0)+x_3\cdot(0,0,1)/x_1,x_3\in\mathbb{R}\}= \\
<(1,-\frac{\alpha }{\beta },0),(0,0,1)>

Sempre e cando

 \beta \neq 0 

, o cal non representa ningún problema, pois nese caso é aínda máis sinxelo atopar o base do espazo vectorial :o plano sería un dos planos coordenados, o

 X_2 X_3

, xerado obviamente por

(0,1,0) \ e \ (0,0,1)

Por certo, a figura da cabeceira representa o plano

 3x_1+2x_2=0

E rematamos por hoxe (e seguramente por moito tempo) a sección dedicada á Xeometría baseada na Álxebra Linear.
Déixovos cun bo vídeo de Kasabian:

Kasabian/Empire from Theisch Bernard on Vimeo.