Máis problemas de olimpíadas

Tethys slips behind Titan

O xoves, día de recuperación da 1ª avaliación, os alumnos de 2ºB que non tiñan que facer o exame estiveron escornándose contra os problemas de edicións pasadas da Olimpíada Galega.
Unha cousa da que me decatei sobre o tipo de problemas desta competición é que, ao revés do que sucede nos problemas "de clase", adoitan ter varias respostas. En principio non teño nada en contra de problemas con varias respostas, pero si cando o número destas é demasiado grande. Vexamos un exemplo para concretar o que quero expresar.

O problema 4 da fase final de 2008, titulado "O libro" é unha boa mostra:


Un libro ten 303 páxinas e está dividido en capítulos. Os capítulos son ou ben de 25 páxinas, ou ben de 20 páxinas ou ben de 16 páxinas. Cantos capítulos de cada clase pode ter o libro?


A solución formal é obvia, temos que resolver a ecuación diofántica

25x+20y+16z=303

sendo x, y e z o número de capítulos do libro con 25, 20 e 16 páxinas, respectivamente. Isto impón que as solucións sexan non só números enteiros, senón tamén naturais, e ademais menores que 30.

Tal ecuación non presenta demasiadas dificultades, simplemente hai que ter en conta o tamaño dos números e a súa paridade, e chegamos ás solucións

x=3, y=1, z=13
x=3, y=5, z=8
x=3, y=9, z=3
x=7, y=0, z=8
x=7, y=4, z=3

Ben, quizais haxa quen pense que non é un número moi elevado de solucións (aínda pode ser unha menos se non aceptamos que non haxa capítulos con 20 páxinas). Pero por que non me gusta a min?

Basicamente porque o proceso mental esperado nos alumnos olímpicos consiste en que se decaten de que o número de páxinas do libro remata en 3, e que isto leva a deixar por un momento á marxe os capítulos de 20 páxinas e centrarnos nos de 25 e 16. Despois disto o demais vén de xeito natural: temos que considerar a suma 3·16 + 25 = 73 como comezo das solucións, e rematar as solucións enchendo as restantes 303 - 73 = 230 páxinas.

Ademais naquela mesma fase final do 2008 había outra actividade cuxa resposta era tamén bastante longa, o problema 2, titulado "Fichas ao aire":

Teño dúas fichas, unha azul e outra vermella. En cada cara teñen escrito un número natural, sen que se repita ningún. Se lanzamos as dúas fichas ao aire e sumamos os resultados que poden saír, obteríamos: 11, 12, 16 e/ou 17. Podes adiviñar os números escritos en cada cara de cada ficha?

Neste caso aínda hai máis solucións, un total de 10.

Eu creo que os problemas máis axeitados para unha Olimpíada Matemática son aqueles que requiren unha certa reflexión alén da mera meticulosidade. Para seren meticulosos os alumnos xa teñen abondo cos exercicios propios das aulas. Estou a pensar en ecuacións con denominadores, operacións combinadas con números enteiros e fraccións, con potencias e radicais, con polinomios (ai, a división!), sistemas de ecuacións, ...


En fin, un desacougo. Quizais estou influído pola visión do seguinte vídeo, que non sei aínda que como denominar exactamente á sensación que produce:

Syn Emergence from RICH BEVAN on Vimeo.