Un problema do AMC

Collede un triángulo equilátero ABC, e un punto T variable na base AB. Trazade unha circunferencia tanxente a AB no punto T que teña radio igual á altura do triángulo ABC. Esa circunferencia corta aos lados CA e CB do triángulo nos puntos M e N, respectivamente. A medida que se move o punto T pola base AB, que lle pasa á medida do arco MN?

Xa vos fago eu o debuxo:

Hai algo aí inestable, non si?

Esta problema foi a cuestión número 36 do AMC 12 de 1964, unha das competicións de instituto das que adoito tirar cuestións técnicas interesantes, que nunca se me ocorrerían a min, como por exemplo:

24) Sexa $y=(x-a)^2+(x-b)^2$, onde a e b son constantes. En que valor de x alcanza y o seu mínimo?

a) $\frac{a+b}{2}$

b) $a+b$

c) $\sqrt{ab}$

d) $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

e)$\frac{a+b}{2ab}$

Ou

21) Se $log_{b^2} x +log_{x^2}b=1$, entón x é:

a) $\frac{1}{b^2}$

b) $\frac{1}{b}$

c) $b^2$

d) $b$

e)$\sqrt{b}$

Anímovos a que usedes ítems coma estes nas vosas clases se non o facedes xa. O formato do test provoca que os cativos eviten en moitos casos o razoamento e deduzan, por eliminación ou simple comprobación, cal é a resposta boa(previously, on Matemáticas na Rúa). Pero para iso estamos nós, para poñer o obstáculo axeitado, como fixen eu co problema do arco do comezo.

Pensamento xeométrico vs. pensamento aritmético

Co cambio de ano comezamos o bloque de Álxebra en 2º de ESO(5ª unidade didáctica do curso). Xa comentei que en 1º aproveitara a web Visual Patterns para introducir o estudo elemental das variables. É unha sorte que teñamos dispoñibles webs como esta, hai menos dunha década nin pensabamos na posibilidade, certamente.

Póñovos unha actividade desa web para que vexades de que estou a falar:

Pattern #14, from Katie, Squares in step 43 = 259

Cada viñeta da web contén os primeiros pasos dun patrón xeométrico, e o subtítulo inclúe o número da actividade, ás veces o autor e a resposta á pregunta implícita no patrón para o paso 43; neste caso, o número de cadrados que ten a figura n-ésima.

Neste exemplo, o razoamento parece claro: cada figura contén tantas ringleiras de 6 cadrados como o número do paso, máis un cadrado extra enriba. Por isto a fórmula que dá o número de cadrados no paso n é inmediata: 6n+1. A web proporciona o valor numérico para n=43 coa intención de que o alumno poida comprobar se a fórmula atopada funciona para un caso suficientemente grande para evitar o fenómeno da lei forte dos pequenos números.

A miña teima é que é habitual que os cativos non tenten razoar de xeito xeométrico. Probablemente sexa máis culpa miña debido a como introduzo as actividades que ás actividades per se, aínda así, coido que é comprensible que se dea este fenómeno. Cando un alumno observa un patrón, a tendencia natural fai que vexa algo así:

Paso	Nº de cadrados
1	7
2	13
3	19
4	25
...	...
n	?

E se o alumno ten boa base da aritmética de Primaria, pode chegar a ver que os números da columna da dereita non son máis que unha unidade por riba dos séxtuplos dos correspondentes da columna esquerda. A este pensamento é ao que me refería ao comezo co apelativo de aritmético, unha vez que se contan os cadrados das primeiras 4 figuras, un pode esquecer o patrón xeométrico e simplemente razoar sobre a secuencia numérica que obtivo.

Outro obstáculo é ben coñecido para os profesores de 3º de ESO: é moito máis sinxelo atopar a relación dunha figura do patrón coa figura anterior que a súa relación co lugar que ocupa no patrón, i.e, o paso. Na unidade de Progresións de 3º adoita suceder que os alumnos vexan rapidamente a diferenza das progresións aritméticas e máis adiante a relación de recorrencia, mais tarden en ver o termo xeral. Aínda por riba, a notación axeitada para as sucesións resulta difícil de dominar nesa etapa da aprendizaxe.


Vexamos outro exemplo desta mesma semana:

Pattern #3, Squares in step 43 = 990

Resulta obvio que este patrón é máis difícil, non si? O feito de que responda a unha progresión aritmética de orde 2, que no paso n o número de cadrados estea relacionado directamente con n+1  en troques de n e, por se fose pouco, que na fórmula haxa un denominador 2, complican a obtención da fórmula.

O bo que ten ser máis difícil é que non é inmediato recorrer ao razoamento puramente aritmético, pois en cada paso que avanzamos, a diferenza non é constante:

Paso	Nº de cadrados
1	3
2	6
3	10
4	15
...	...
n	?

Neste patrón tiven que axudar no encerado, resulta moi duro aínda traballando varios compañeiros xuntos. A axuda consistiu en mover as mans facendo espaventos para finalmente engadir uns cadrados difusos para o paso 2, como nesta imaxe:

   

Como contrapartida, é complicado chegar a atopar a fórmula sen razoar sobre a figura, que agora é máis claro que ten a metade de cadrados ca un rectángulo de base n+1 e altura n+2.

Seguirei utilizando este tipo de actividades, sen dúbida, mais non teño claro como facilitar o razoamento xeométrico sen que os patróns se pasen de dificultade. Tendo en conta ademais de que eu mesmo vexo antes habitualmente a fórmula a partir dos números(polo menos ata progresións aritméticas de orde 3) que a partir das figuras.

E vós que, traballades os visual patterns? Notastes este fenómeno ou é outra teima miña, outra para a colección?

Once

Atreveríame a afirmar que en todas as aulas nas que se dan criterios de divisibilidade, o criterio do 11 vai así:

Collemos o número que queremos saber se é múltiplo de 11, poñamos 49235.

Sumamos as cifras que ocupan un lugar impar, comezando pola dereita, neste caso:

4+2+5=11

Sumamos as cifras que ocupan un lugar par:

9+3=12

E restamos as dúas sumas anteriores: 12-11=1

Como o resultado non é múltiplo de 11, o número orixinal tampouco o é

Vexamos outro, 835032:

Lugar impar: 3+0+2=5

Lugar par: 8+5+3=16

16-5=11, que si é múltiplo de 11, polo que 835032 tamén.

Este algoritmo vén sendo o criterio tradicional de divisibilidade entre 11, polo menos en España.

E suscita varias cuestións:

A primeira: é algo habitual que haxa cativos que confundan a paridade do lugar das cifras coa propia paridade das cifras.

A segunda, que non será compartida por todos os profesores: non se pode explicar de xeito cabal por que funciona. A contorna na que mellor se entende é a da aritmética modular:

$10^{2k} \equiv 1 (mod 11)$ e $10^{2k+1} \equiv -1 (mod 11)$ (xunto co feito de que a equivalencia modular se leva ben coa suma... alguén dixo homomorfismo de grupos?)

Breve, elegante, fermoso... e inútil na aula.

Pois ben, hai outros criterios, que comparten a dificultade epistemolóxica mais sendo ben sinxelos de aplicar. Observade outro:

Separamos o número 49235 en grupos de dúas cifras, comezando pola dereita: 4-92-35

Sumamos estes números: 4+92+35=131

Repetimos ata ter un número de dúas cifras: 1-31, 1+31=32

Como o resultado final é un número de dúas cifras distintas(vaia, un que non é divisible entre 11), o número 49235 non é múltiplo de 11

Fagámolo co outro exemplo de antes: 835032

83+50+32=165, 1+65=66 si ten as dúas cifras iguais, polo que 835032 é múltiplo de 11.

A explicación con aritmética modular é igual de sinxela:

$10^{2k+1} \cdot a + 10^{2k} \cdot b \equiv 10a+b (mod 11)$

Pois ben, aínda hai outro criterio inmediato que é sinxelo de aplicar e que depara unha sorpresa. O mecanismo é moi simple, imos restando a última cifra ao número formado polo resto de cifras, ata chegar a unha única cifra. Probando con 49235:

4923-5=4918

491-8=483

48-3=45

4-5=-1

que non é múltiplo de 11, polo que 49235 non o era.

Fagámolo con 835032:

83503-2=83501

8350-1=8349

834-9=825

82-5=77

7-7=0

E polo tanto, 835032 si é múltiplo de 11

Sinxelo, non si?

Pero o mellor está por chegar. Mirade os números que fomos restando no procedemento, comezando por abaixo: 7, 5, 9, 1, 2

Osmades a punchline?

Pois si, amigos, 835032=11·75912

O procedemento non só informa sobre a divisibilidade entre 11, senón que ademais, dá o cociente. Dous polo prezo de un.

Chegados a este punto, teño que confesar que nunca expliquei outro criterio do 11 que non fose o tradicional, supoño que por pura preguiza; tería que comentalo no departamento e coido que xa teño sona de excéntrico abondo para meter en máis leas. Porque outra explicación non atopo.

O número 11, por outra banda, ten algunhas propiedades curiosas.

• É o maior número natural que non se pode expresar como suma de dous números compostos.

• É o único primo que ten lonxitude de período 2. É dicir, se divides entre 11 e non dá exacto, obtés dúas cifras no período, p.ex., $\frac{3}{11}=0,\widehat{27}$

• É o primeiro número primo p para o que $2^p-1$ non é primo ($2^{11}-1=2047=23 \cdot 89$)

• E algo máis provisional, é o número de anos que leva na rede Matemáticas na Rúa.

Outro problema de grellas

Hai un problema clásico das matemáticas recreativas polo que pasei rozando neste blog, e que volveu capturar a miña atención debido á alerta que me avisa do que se publica en math stack exchange. Soará estraño, mais o que viña nesa alerta non era a situación que é obxecto desta entrada, senón outra da que hei falar noutra ocasión, e que trata de saber analiticamente se un rectángulo cae dentro doutro rectángulo. E non sei moi ben a razón, mais esa cuestión e a que vou comentar nun intre están gardadas moi preto unha da outra na miña memoria.

Pois ben, consideremos o rectángulo que ten como vértices (0,0), (m,0), (m,n) e (0,n), e marquemos os m·n cadrados unitarios que contén. Se debuxamos a diagonal de (0,0) a (m,n), por cantos deses cadrados pasa, se falamos de pasar polo interior deles?

Rectángulo 8·6, cadrados resaltados

Se un fai un par de probas con diferentes dimensións, o primeiro que observará é que atopar ese número de cadrados se reduce a calcular por cantos puntos reticulares(i.e, coas dúas coordenadas enteiras, os vértices dos cadrados na nosa grella) pasa a diagonal, pois por cada punto reticular polo que pase a diagonal haberá que restar un cadrado do máximo teórico. Máximo que se alcanza no exemplo seguinte, por exemplo:

Ningún punto reticular na diagonal agás os extremos

Esta situación é ben frutífera, pois hai un feixe de cuestións a explorar, despois de atopar a expresión que nos dea o número de cadrados vía o número de puntos reticulares na diagonal:

• Como é o patrón das secuencias horizontais de cadrados? No exemplo 8·5 é 2-3-2-3-2
• Es quen de atopar un exemplo de rectángulo para cada un dos casos intermedios entre 0 cadrados e n+m-1 cadrados?
• ...

Por outra banda, a situación tamén é modificable/xeneralizable, variando as figuras que aparecen:

• Se en troques de trazar a diagonal, segmento rectilíneo entre os vértices, debuxamos outro camiño entre eses dous puntos?

Parábolas, unha delas función cuadrática de x e a outra, radical            

• E se trocamos o rectángulo e os cadrados por paralelogramos? Triángulos? Outros polígonos?Nestes casos habería que refacer as normas do xogo; por exemplo cos paralelogramos, consideramos paralelogramos "unitarios" ou semellantes ao paralelogramo orixinal? As dúas situacións son ben diferentes...

Ocórresevos algunha outra modificación á situación de inicio? Please feel free to comment.

Sirva esta como última entrada do 2019. Matemáticas na Rúa volve en 2020, abofé que si.

Máis problemas da aula

Despois de ver esta entrada de Cibrán(lédea se non o fixestes aínda, mangantes), decidín compartir algún problema máis dos que utilicei en Matemáticas I. Estes problemas proceden da mesma xeira có anterior, mais tamén dunhas tarefas individualizadas que mandei porque, benévolo e magnánimo como son, accedín á petición dos alumnos de 1º de bacharelato de non poñer problemas no exame final (explicación alternativa: nun exame de 50 minutos+recreo non ía darlles tempo con toda seguridade).

Nestas tarefas, ao estilo dos traballos de 4º de ESO que compartín hai dous anos, puxen un exercicio máis ou menos técnico xunto ao que chamaríamos un problema estándar. Nalgúns casos, o exercicio técnico supón un problema maior có problema que o acompañaba, contra o que podería agardar alguén de fóra do ensino das Matemáticas.

Coido que nesta escolma non hai ningún problema orixinal meu, todos forman parte ou ben do folklore ou apareceron en competicións matemáticas, ou en máis ocasións, foron tirados de libros como o fabuloso Ants, Bikes and Clocks: Problem Solving for Undergraduates de William Briggs, no que non paro de atopar pequenas xoias da Matemática elemental.

Velaquí uns cantos:

1. Dous ferris parten simultaneamente de beiras opostas dun río, navegando perpendicularmente ás beiras. Atópanse por primeira vez a 180 metros da beira máis cercana, e ao chegar á oposta, permanecen 10 minutos no pantalán antes de emprender o camiño de volta. Atópanse de novo a 100 metros da beira máis cercana. Cal é o ancho do río?

2. Se x é un número real que cumpre $x^3+4x=8$, atopa o valor de $x^7+64x^2$

3. Pablo e Cristina compiten nunha carreira de 100 metros, e Cristina gaña a Pablo por 5 metros de vantaxe. Deciden botar a revancha, con Cristina empezando 5 metros por detrás da liña de saída. Supoñendo que os dous corredores vaian ao mesmo ritmo que na primeira carreira, quen gañará a segunda? ¿Por canto? (Desta idea xa falei no blog aquí)

4. Raúl pode chegar ao seu destino se conduce a unha media de 60 km/h. Se cando leva unha fracción 0 < p < 1 do traxecto total observa que só foi a unha velocidade media de r < 60 km/h, a que velocidade terá que ir para tardar o tempo habitual?

E para rematar:

5. Considera este desafortunado incidente: Unha moza estaba cruzando a ponte do ferrocarril cando, a metade de camiño, viu un tren a 50 metros que ía cara ela. Inmediatamente xirouse e correu de tal xeito que saíu da ponte no momento exacto no que chegaba o tren. Se tentase cruzar a ponte, o tren colleríaa un metros antes de que lle dese tempo de saír da ponte. Cal é o largo da ponte? (situación xa aparecida tamén)

Se queredes evitar a infame televisión que podemos padecer esta noite, xa tedes algo no que pensar.