Divertimento xeométrico(2)

Van máis de dous anos desde que publicara por aquí un divertimento xeométrico. Para rematar o ano, se tedes folgos para pensar un anaco, velaquí tedes un problemiña ben simpático.

A figura foi creada por Bruno Ernst, matemático e artista neerlandés que é coñecido por crear ilusións ópticas ademais de divulgar a obra de M.C. Escher. O título que lle deu, moi acaído, é "Pitágoras en triángulos regulares".

Collede un triángulo calquera e un punto no seu interior. Trazade as perpendiculares aos lados desde ese punto. Con base os seis segmentos que se determinan nos lados, erguede seis cadrados, e pintádeos alternativamente de gris e negro. Sucede que a área total gris e a área total negra son iguais.

Mirade o debuxo, que é máis sinxelo:

Se fose o circuncentro non había moito que pensar...

Déixovos co problema, vémonos seguramente o ano que vén.

Anumerismo nas "élites"

"Cada aparato kindle, o e-book, o de libro electrónico existente en Francia, compra una media de 4,6 libros al año. En Italia, país con fama de no muy honrado, son 4,4 los que adquiere legalmente cada usuario. En España, el porcentaje es de 0,6"

Tirado de Las Bandas de la Banda Ancha, escrito por Javier Marías en El País Semanal

O artigo de Javier Marías continúa coa habitual diatriba contra as novas tecnoloxías desde a perspectiva do copyright e os dereitos de autor, onde confunde, como é usual, os dereitos de autor cos dereitos ao lucro, a copia física coa copia privada, e a ferramenta co seu uso. Pero non quero falar hoxe dese tema(nunca me resultou interesante) senón que quero salientar a barbaridade que hai nese breve parágrafo. Se non a vistes, pensando que ía centrarme nos dereitos de autor, lédeo agora buscando desde o punto de vista matemático.

En efecto: porcentaje. Aínda que o culto lector xa o sabe, sinto a necesidade de lembrar sucintamente que é unha porcentaxe:

Como todo o mundo sabe, o sistema numérico que utilizamos acotío é posicional e baseado no número 10. Isto provoca que as contas nas que intervén o número 10 e as súas potencias sexan especialmente sinxelas (e tamén nas que aparecen o 2 e o 5). E tamén que as fraccións $\frac{a}{b}$ teñen varios significados, todos eles interrelacionados:

• En primeiro lugar unha fracción $\frac{a}{b}$ indica que partimos certa cousa (chamada unidade) en b cachos iguais e tomamos a deses cachos.

Moi orixinal

• Por outra banda a fracción $\frac{a}{b}$ indica unha razón, é dicir, unha relación entre magnitudes; por exemplo, se facemos 200 quilómetros en 4 horas, a fracción $\frac{200}{4}$ significa...(déixase como exercicio para o lector)

• Por último $\frac{a}{b}$ é un número (racional, para máis inri), e como tal ten unha representación na recta real (e ademais, sinxela de atopar grazas a Thales)

Un terzo, dous terzos...

Se unimos á utilidade obvia das fraccións o feito de que o noso sistema fai máis sinxelo traballar con potencias de dez, veremos que as fraccións con denominador 10, 100, ...teñen que ser axeitadas.

Pois chegamos por fin: as fraccións con denominador 100 chámanse porcentaxes, e a súa notación é universal:

$$\frac{25}{100}=25\mathrm{\%}$$

Entón... que significa no parágrafo do comezo "el porcentaje es de 0,6" Que porcentaxe? Onde hai unha ratio con denominador (ou consecuente) 100? Por que isto cheira a que calquera dato relativo, calquera ratio... podería ser chamada "porcentaje" polo autor, reputado escritor por outra parte?

Sei que manteño unha opinión que non está moi de moda, pero eu estou de acordo co artigo The Two Cultures de C.P. Snow. E tendo en conta o affair Sokal, a miña (polémica) aposta é que, mentres os da outra beira da cultura non fagan un esforzo, esta división vai permanecer.

Onde o autor recoñece a súa ignorancia

Saúdos de novo a todos os meus lectores (a todos vós, os catro) despois destas semanas de exames e avaliacións.

Rebotando dunha web a outra cheguei (outra vez) ao blogue de John Baez, físico-matemático na universidade de California. O seu blogue, Azimuth, é unha fonte inesgotable de marabillas, tanto matemáticas como doutros campos da ciencia. Teño que avisarvos que hai que ir preparado para atopar explicacións de certo nivel sobre os conceptos que trata. Aínda que non é necesario, ás veces, entender para marabillarse. John Baez ten outro blogue, Visual Insight, encamiñado por completo a amosar visualizacións que axuden a comprender conceptos avanzados das Matemáticas.

(John Baez é recoñecido como o primeiro blogueiro matemático polo seu vello blogue, This Week's Finds in Mathematical Physics, que editou desde 1993 ata o 2010, e tamén é co-editor de N-Category Cafe, ao que non recomendo ir se non vos van as categorías e o abstract nonsense)

Como dicía, caín casualmente no blogue de John Baez, e quixo o azar que o último post naquel momento era Rolling Hypocicloids, e nel aparecía a animación coñecida como Par Tusi:

Só se o radio da grande é o diámetro da pequena...

Ao ver outra versión da animación que incluín no último post deste blogue tiven que acabar de ler o seu texto. E quedei abraiado ao descubrir que o nome "Tusi" non era arbitrario, como asumira eu inconscientemente, senón que facía mención ao astrónomo persa do século XIII Nasir al-Din al-Tusi, quen describiu este dispositivo como explicación do movemento aparente dos planetas. Mirade que fermosura de diagrama podemos ver na wikipedia, uns cantos anos antes da existencia dos applets e o Geogebra:

Sen animación non queda outra que utilizar figuras
 estáticas, neste caso cuartos de volta

E por se non fora suficiente demostrar así a propia ignorancia, atopei no boletín de quora (unha web de preguntas e respostas) un problema aparentemente inofensivo pero que aínda non foi derrotado:

Se $2^x$ e $3^x$ son números enteiros, é necesariamente x enteiro tamén?

Curiosamente onde vin este problema tamén comentaban que se impoñemos ademais que $5^x$ sexa enteiro, entón si que está probado que x ten que ser enteiro (polo visto foi o prolífico teórico de números Serge Lang o primeiro que o amosou, nun volume sobre funcións meromorfas)

Xa está ben de deixar ver o que un non sabe; no vindeiro post volverei ao papel usual de profesor.

Ilusións de rotación

Nos últimos tempos apareceron pola rede unhas animacións que, a simple vista, non teñen nada extraordinario:

A gran cousa, unha circunferencia dentro doutra?

Ata que revisamos ben o que está a suceder:

De Mighty Optical Illusions

Cada punto, individualmente, segue unha traxectoria rectilínea que coincide cun diámetro da circunferencia maior. Os 8 puntos tomados en conxunto dan a impresión dunha circunferencia coa metade de diámetro rotando dentro da grande.

Pois ben, no concurso das mellores ilusións ópticas deste ano un dos finalistas, Tusi or not Tusi, xogaba coa idea de crear este efecto dunha circunferencia xirando a partir de puntos en liñas rectas e tamén co contrario. Ide aló e comprobádeo, que a ilusión aparece nunha animación en flash e non hai vídeo.
Do que si que hai vídeo é do gañador da mellor ilusión do ano, Rotación xerada mediante Translación:

Outra vez coa mesma idea dos aparentes círculos temos a seguinte, que polo menos eu vexo mellor se fixo a vista no centro da imaxe:

Do blogue de Richard Wiseman

Como apuntaban naquel blogue, o efecto é semellante ao dos puntos que, seguindo traxectorias verticais, crean globalmente unha onda horizontal:

Tirado da web deste instituto

Xa tedes para manter o mareo durante uns días. Eu vou tentar simular algunha das ilusións co Geogebra, a ver se teño éxito.

Proba de operacións básicas con números enteiros

Escribo este post simplemente para introducir un test de operacións sinxelas con números enteiros. Perdón pola diglosia imposta...

Sumas y restas de enteros

Matrices e Pitágoras?-II

No anterior post levoume un anaco empezar a albiscar a relación das matrices coa Teoría de Números, a nivel elemental. Hoxe chegarei por fin ao obxectivo que me fixo comezar co título Matrices e Pitágoras despois de ler un artigo titulado "Modified Farey Trees and Pythagorean Triples" de Shin-Ichi Katayama (podedes atopalo nesta web). O artigo segue unha liña comezada hai 50 anos por F.J.M. Barning, quen conectou as distintas triplas pitagóricas mediante certo tipo de matrices. Pero primeiro haberá que lembrar certos conceptos:

A ecuación pitagórica, seguramente a máis coñecida das ecuacións diofánticas, xorde no estudo dos triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados que sexan números naturais:

$$a^2+b^2=c^2$$

As solucións constan de tres números, polo que se chaman ternas pitagóricas. A primeira terna, que todos os alumnos teñen visto á altura de 1º de E.S.O., é a famosa $(a,b,c)=(3,4,5)$, e é a base das aplicacións para crear ángulos rectos en carpintería, por exemplo.

A corda  (3,4,5) cos seus 12 nós

Ademais a terna (3,4,5) ten unha peculiaridade, pois os tres números non posúen ningún factor primo común. A estas ternas pitagóricas coñecémolas como ternas primitivas.

É sinxelo atopar todas as ternas pitagóricas primitivas, se comparamos o procedemento coa sofisticación a onde ten chegado o estudo das ecuacións diofánticas. Vexámolo:

Se a terna (a,b,c) é primitiva, automaticamente chegamos a que o termo c ten que ser impar, e b e a de paridade oposta, é dicir, un par e o outro impar (breve explicación: se b e a fosen pares, c tamén o sería, e 2 sería un factor común; se b e a fosen impares, o seu cadrado deixaría resto 1 ao ser divido entre 4, co cal c² deixaría resto 2 ao ser dividido entre 4, polo que c² sería un cadrado perfecto par e non divisible entre 4, o que é absurdo). Supoñamos que a é impar e b par. Reescribimos a ecuación como $b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)$

Como b, c+a e c-a son pares, podemos dividir os dous membros entre 2 sen saír dos naturais:

$${\left(\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{c+a}{2}\cdot \frac{c-a}{2}$$

Agora chega o paso crucial, que ao ser copiado tantos pseudo-descubrimentos provocou no estudo do Derradeiro Teorema de Fermat:

Como $\frac{c+a}{2}$ e $\frac{c-a}{2}$ son números coprimos e o seu produto é un cadrado perfecto, cada un deles ten que ser un cadrado á súa vez. Chamémoslles u e v, de tal xeito que:

$$\frac{c+a}{2}=u^2,\frac{c-a}{2}=v^2⟹c=u^2+v^2,a=u^2-v^2,b=2uv$$

Chegando á expresión xeral para as ternas primitivas $(a,b,c)=(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)$

Onde hai que salientar que u e v son coprimos e teñen paridade oposta para sermos coherentes co carácter primitivo da terna (a,b,c).

Por exemplo, a terna (3,4,5) correspóndese nesta parametrización cos valores u=2, v=1; (5,12,13) con u=3,v=2; (21,20,29) con u=5, v=2; (33,56,65) con u=7, v=4...

Hai outra aproximación á solución que utiliza a parametrización de curvas, mais require algo máis de traballo. Así que vaiamos por fin á alucinante relación entre as matrices e as ternas pitagóricas:

No devandito artigo aparece un procedemento aparentemente standard que eu nunca vira. Como quedei pampo quería compartilo neste faiado que manteño na rede:

Se definimos as matrices $$M_1=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& -2& 3\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right),M_3=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ -2& 1& 2\\ -2& 2& 3\end{array}\right)$$

resulta que podemos obter todas as ternas primitivas a partir soamente da primeira, (3,4,5)! Este feito é o que me deixou abraiado. A técnica concreta é xa, na miña opinión, case menos importante:

Dada calquera terna primitiva (a,b,c) existe un número r natural tal que:

$$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=M_{\sigma (1)}{M}_{\sigma (2)}\dots M_{\sigma (r)}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$$

onde $(\sigma (1),\sigma (2),\dots \sigma (r))\in \{1,2,3{\}}^r$

Aínda máis: a representación da terna (a,b,c) é única, e calquera representación dá lugar a outra terna primitiva. En realidade as matrices poden ser utilizadas para conectar dúas ternas primitivas ao chou, sen pasarmos pola (3,4,5)

Para ver uns exemplos, a terna (5,12,13) que mencionei máis arriba aparece cando collemos só a matriz $M_1$, a (21,20,29) collendo $M_2$...
Como era de supoñer, a wikipedia ten un artigo no que podemos ler sobre esta representación matricial. Nel atoparemos a árbore das ternas pitagóricas primitivas. Unha estrutura ben elegante:

Se coñecesemos ben a relación entre as ternas primitivas e os números primos que forman
os parámetros u e v, quizais poderíamos coñecer algo máis dos fuxidíos primos.

Xa está ben de tantas Matemáticas por hoxe. Prometo que o vindeiro post será máis leve...

Matrices e Pitágoras?

Hai anos estaba a ler un libro de historia da Teoría de Números e no epígrafe sobre o problema dos números que poden ser expresados como suma de dous cadrados dei co coñecido resultado:

"Se dous números poden expresarse como suma de dous cadrados entón o seu produto tamén pode ser expresado dese xeito"

Vexamos un caso particular:
$$\{\begin{array}{l}13=3^2+2^2\\ 17=4^2+1^2\end{array}\to 221=13\cdot 17={14}^2+5^2$$
Habitualmente este resultado aparece demostrado utilizando igualdades polinómicas, técnica na que Euler destacou coa súa vista proverbial¹. Pero aquel día non sei que tería eu rondando polo miolo, que atopei varios xeitos "naturais" de amosar o devandito resultado.
Enfocando o problema: tentei amosar que, se multiplicamos dous números expresables como suma de dous cadrados, $P=a^2+b^2$ e $Q=c^2+d^2$, obtemos outro número PQ, tamén expresable $PQ=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$

Ao ver a suma de dous cadrados pensei automaticamente nos números complexos, quizais (non o lembro con exactitude) porque pasara pouco tempo desde que factorizara algún polinomio no corpo complexo. E rapidamente apareceu a proba:
$$PQ=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=$$
$$(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)=[(ac-bd)+(ad+bc)i][(ac-bd)-(ad+bc)i]$$
$$=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$$

Se tentades traducir esta fórmula ao caso particular de antes, cos números 13 e 17, veredes que obtedes a expresión $221={10}^2+(-5{)}^2={10}^2+5^2$. Para obter a que escribín no exemplo hai que intercambiar os valores de a e b.

Como aquel día estaba con forzas e en Matemáticas unhas ideas conectan axiña con outras, levei isto a outro contexto, o dos determinantes:

Observando que a expresión $a^2+b^2$ pode tamén escribirse $\left|\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right|$, xa é directo:

$$\left|\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}ac-bd& -(ad+bc)\\ ad+bc& ac-bd\end{array}\right)\right|$$

Sospeito que esta ponte entre os complexos e os determinantes debeu de construírse aproximadamente por este camiño: complexos-forma exponencial dos complexos-forma trigonométrica dos complexos- matrices de xiro-determinantes, mais recoñezo que dou paus de cego, pois xa pasaron máis de dez anos. A proba é breve, pero porque oculta o paso esencial que, alén de decatarse da expresión como determinante de a²+b², consiste en utilizar que a aplicación determinante de matrices se comporta ben co produto de matrices (para o connossieur, o determinante é un homomorfismo de grupos entre $M_{n\times n}$ e $(\mathbb{R},\cdot )$)

Agora sei que o camiño de utilizar matrices para amosar cuestións de Teoría de Números é certamente natural. Daquela aínda non lera sobre o xeito de expresar recorrencias como a da sucesión de Fibonacci mediante produto de matrices, cousa que agora está "de moda" debido a que aparece en libros de texto do bacharelato, xunto á potenciación de matrices. O método vén sendo:

$$\left(\begin{array}{c}{F}_2\\ F_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{F}_1\\ F_0\end{array}\right)$$
Reiterando a expresión:
$$\left(\begin{array}{c}{F}_3\\ F_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{F}_2\\ F_1\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^2\left(\begin{array}{c}{F}_1\\ F_0\end{array}\right)$$

En xeral, e tendo en conta que $F_1=1$e que $F_0=0$ chegamos a que:

$$\left(\begin{array}{c}{F}_{n+1}\\ F_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$

O que leva tamén a que
$$\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n$$

Como propina, se calculamos os determinantes dos dous membros da igualdade anterior obteremos a famosa identidade de Cassini:
$$F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$$

Tamén, como a matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ cumpre obviamente que $A^{m+n}=A^m\cdot A^n$, obtemos rapidamente que:
$$F_m{F}_{n+1}+F_{m-1}{F}_n=F_{m+n}$$
e a súa consecuencia, da que xa falei por acó (xunta o meu pseudo-descubrimento):
$$F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_n^2$$

E o lector que non estea xa mareado a estas alturas de post preguntará "E Pitágoras onde vai?". Vai na continuación deste longo post, permanezan ante os seus aparatos.

---

1 O de Euler é sobrenatural. Ollade para a identidade que atopou, 200 anos antes dos ordenadores: $$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=(a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_4-a_4{b}_3{)}^2+$$ $$(a_1{b}_3-a_2{b}_4+a_3{b}_1+a_4{b}_2{)}^2+(a_1{b}_4+a_2{b}_3-a_3{b}_2+a_4{b}_1{)}^2$$ ^↩

Un starter

No artigo que enlacei por acó, que todos os meus colegas, amigos e familiares tiveron que ler polo menos tres veces, mencionaba brevemente a idea de "Math Starter". O nome en inglés fai que o concepto quede máis rechamante (máis nesta época de estupidez anglófila que nos fai padecer a administración), mais a orixe é ben tradicional: como comentaba aló, todos os profesores de Matemáticas utilizamos dalgún xeito ideas, problemas, situacións... que introducen informalmente os novos contidos que imos traballar. Esta semana utilicei un que pode que outros profesores vexan interesante na unidade de Divisibilidade de 1º de E.S.O. Aínda que a idea implícita é ben coñecida, quizais a "posta en escena" non o sexa tanto. Ollade como funciona:

• Ao comezo da clase pídolles aos alumnos que escriban no seu caderno un número calquera de 5 cifras.

Imaxinemos que escribe o número 92836

• Mándolles sumar as cifras dese número.

9+2+8+3+6=28

• Agora dígolles que resten o que lles deu esa suma do número orixinal:

92836-28=92808

• Por fin, o desenlace: Dígolle a cada un que risque unha das cinco cifras do número e que me diga as outras catro, se queren desordenadas

O alumno podería riscar un 8, 92808 e dicirme 2-0-8-9

• Contéstolle ao alumno que riscou un 8. Se o fago case instantaneamente e 20 veces consecutivas, ademais dicíndolle aos alumnos que negan que riscase o número adiviñado que volvan botar as contas, pero esta vez ben, acabo por oír un sonoro oh! de sorpresa, o cal nunha aula de secundaria sempre é de agradecer.

Rematada a actuación, vaiamos ás Matemáticas...

A suma das cifras dun número natural é coñecida de xeito tradicional como "suma dixital". Ten a propiedade de ser congruente módulo 9 co número orixinal, é dicir, o resto que deixa o número ao ser dividido entre 9 é o mesmo que deixa a súa suma dixital. Este é o feito oculto baixo a "proba do 9" que se utilizaba para comprobar a división hai varias xeracións (eu xa nin a utilicei na EXB). Vexamos o número de antes:

92836=10315·9+1

9+2+8+3+6=28=3·9+1

Vemos que efectivamente $92836\equiv 28(mod9)$

Entón, se ao número lle restamos a súa suma dixital obteremos sempre un número divisible entre 9, e aí está a esencia do truco: as cinco cifras que obtemos suman un múltiplo de 9, cando riscan unha e len as outras catro só temos que recuperala calculando canto lle falta á suma desas catro para chegar a un múltiplo de 9. No exemplo, sumamos 2+0+8+9=19 e sabemos que riscaron un 8 para chegar a 27=9·3.

Obviamente o truco ten unha péga: non permite distinguir casos dubidosos, nos que o alumno risca un 0 ou un 9, para obter suma dixital das outras catro cifras múltiplo de 9; así que é útil dicir ao comezo que non risquen un 0, que é o que fago eu, ou xogar a cara e cruz neses casos.

Se alguén quere saber a proba formal da congruencia módulo 9 dun número coa súa suma dixital, é ben breve:

$$a_n{a}_{n-1}\dots a_1{a}_0={10}^n\cdot a_n+{10}^{n-1}\cdot a_{n-1}+\cdots +{10}^1\cdot a_1+{10}^0\cdot a_0\equiv$$

$$1^n\cdot a_n+1^{n-1}\cdot a_{n-1}+\cdots +1^1\cdot a_1+1^0\cdot a_0\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0(mod9)$$

Onde utilizamos que $10\equiv 1(mod9)$ e que as operacións aritméticas básicas son compatibles coas congruencias. É sinxelo ampliar a proba para sistemas de numeración de base p e a divisibilidade entre p-1. As mesmas ideas utilizaríamos para amosar o criterio de divisibilidade do 11. 

Os profesores que lean o truco pensarán que é algo barato, e que case é máis relevante o xeito de interpretalo, e non lles faltará razón. Pero espero que coincidan comigo en que isto é común no noso traballo. Ata situacións extremas como a que vivín o outro día: despois de explicar o horrible algoritmo da raíz cadrada, oín varios "COMO MOLA!"

Problemas matemáticos da Lusofonía

Non coñecía a existencia da Olimpíada Matemática da Lusofonía ata que a atopei en Mathlinks, que vén sendo o equivalente da wikipedia no ámbito das competicións de problemas matemáticos. Para sermos exactos, a olimpíada deixou de chamarse "da Lusofonía" (nome ben bonito e cargado de significado, curiosamente a Xunta non ten ligazón algunha na súa web) para denominarse actualmente Olimpíada Matemática da Comunidade de Países de Língua Portuguesa polo patrocinio da devandita comunidade.

Non puiden evitar mergullarme nos problemas, dos cales traio dous dos que gustei especialmente:

• O primeiro é totalmente elemental, no senso de que non require concepto sofisticado ningún, nin operacións complexas... Só unha boa intuición, que non é pouco. Caeu na olimpíada deste ano, e di así: Un evento ten un comportamento periódico. Durante x anos consecutivos ocorre, para pasar a deixar de ocorrer durante os y anos seguintes, e volta a x anos de aparición... Sabemos que ocorreu nos anos 1964, 1986, 1996 e 2008, e que non ocorreu nos anos 1976, 1993, 2006 e 2013. Cal será o seguinte ano no que si vai ocorrer o evento?

• O outro problema é xeométrico, do tipo que chamamos dinámico porque hai puntos que se moven. O Geogebra é unha ferramenta moi útil para a intuición xeométrica (neste caso resolve por completo o problema, así que non o usedes ata que o resolvades). Apareceu na olimpíada do 2011 (cando aínda se chamaba da Lusofonía): Consideremos dúas circunferencias, tanxentes exteriormente nun punto T, ambas as dúas inscritas nun rectángulo de altura 2 e base 4. Un punto E móvese no sentido contratrio ao das agullas do reloxo na circunferencia da esquerda, e un punto D no sentido das agullas na circunferencia da dereita. Os dous puntos comezan a moverse simultaneamente; E desde o punto T e D desde o punto A, onde a circunferencia da dereita toca superiormente ao rectángulo. Os dous puntos levan a mesma velocidade. Atopa o lugar xeométrico que percorre M, punto medio do segmento que une a E e D.

A figura resume todo ese texto:

Non, non vai ser unha cónica...

Haberá que seguir esta olimpíada, pois as experiencias destes anos coa brasileira e a portuguesa son moi interesantes.

A beleza das Matemáticas

Acabo de atopar este vídeo, Beauty of Mathematics, no blogue The Aperiodical. Nel, partindo da famosa frase de Bertrand Russell que atribúe beleza, aínda que fría, ás Matemáticas, aparecen varios exemplos visuais onde poderemos aprezar a existencia de valores estéticos na nosa ciencia.
Vede vós mesmos:

BEAUTY OF MATHEMATICS from PARACHUTES.TV on Vimeo.

É moi probable que lles poña este vídeo nalgún momento aos meus alumnos, tanto de 1º de ESO como de 1º de Bacharelato. E seguramente explicarei e intensificarei os exemplos do vídeo para "venderlles" a tese que quere transmitir, que semella ser que a beleza está agochada na aplicación das Matemáticas para interpretar o mundo físico.




Porén, sabedes o que me resulta máis curioso?

...que non poría ningún dos exemplos do vídeo como exemplo de beleza matemática. Así que apuntade como competencia do profesor do século XXI (mira que hai listas desas pola rede, haivos unha morea de expertos...) "ser un impostor"

Breve momento de gloria

Conteillo á familia. Compartino nas redes sociais. Mandeillo por correo electrónico aos compañeiros de departamento (e tamén os asaltei polo instituto).

Pero non lembrei que teño un blogue. E que quizais algún dos meus catro lectores non saiba que o autor do blogue de educación de El País Ayuda al estudiante, Carlos Arroyo, me convidou xentilmente a escribir unha breve reflexión sobre o noso oficio. E algo así fixen, aínda que non volo podo garantir:


No desaprovechemos en el aula la fascinación de lo difícil

• E xa que estamos, poñamos algo útil de verdade. Igual atopades algo que se poida usar como profesores na versión en español da Khan Academy, eu aínda non o tentei.

• Ou quizais atopedes algo interesante neste vídeo que vin no blogue de Richard Wiseman (hai que velo ata o final):

• Ou, finalmente, pode que teñades ganas de ver unha boa explicación visual do Paradoxo de Simpson en Simpson's Paradox

De catro cousas estou seguro que haberá tres interesantes.

A educación dun profesor de Matemáticas-II

James Joseph Sylvester, matemático inglés do XIX

Entre outras cousas demostrou a redución das formas binarias á forma canónica nunha sentada, iso si, axudado por unha botella de Porto para soster as enerxías naturais cando decaían. Igualiño que tantas xeracións de estudantes composteláns...

Continúo a entrada previa sobre a miña educación como matemático co ensino recibido ao saír do instituto e emigrar a Compostela. Neste caso si podería ser totalmente exhaustivo, pois a división en materias cuadrimestrais fai que resulte sinxelo seguir os contidos ano a ano, mais non quero escribir un mamotretto e aínda así isto vai quedar longo. A fin de contas o meu propósito non é elaborar unha guía non oficial da Facultade de Matemáticas, senón dar unha visión xeral do que ten estudado un profesor de Matemáticas ao chegar por primeira vez a un centro educativo, en contraposición nítida co que tería que saber. Imos aló coa enumeración:

• Saído do COU/Selectividade un atopaba na carreira os fundamentos da Álxebra Linear/Multilinear (espazos vectoriais, aplicacións lineares,matrices, aplicacións multilineares, diagonalización/triangulación, formas canónicas, espazo dual/bidual...), as Funcións dunha variable real I (o precálculo, desde sucesións/series ata a continuidade) e a Informática I (UNIX/Fortran 77). No 2º cuatrimestre, a Álxebra transformábase na Xeometría Afín e Euclidiana, en Análise estudabamos o cálculo infinitesimal en Funcións dunha variable real II (e a multitude de ocasións onde aparecía o nome de Cauchy); comezabamos en Métodos Numéricos I o estudo dunha morea de algoritmos ben aburridos (na miña opinión, claro) aínda que había ideas interesantes como os métodos de punto fixo e o método de Newton, e a materia máis interesante de 1º, que era Topoloxía dos Espazos Euclidianos. Aínda que máis que Topoloxía semellaba Análise tratada desde outro punto de vista, debido a que os espazos euclidianos compartían moitas propiedades cos espazos ${\mathrm{\Re }}^n$ de toda a vida. Por outra banda, a diferenza esencial entre as Matemáticas estudadas no COU e o traballo como estudante de 1º probablemente fose pasar de resolver exercicios a ter que demostrar feitos matemáticos. Máis adiante un vería que isto tamén podía constituír un exercicio máis que un problema...

• En 2º continuabamos co estudo do Cálculo Infinitesimal en varias variables e as Ecuacións Diferenciais, o Cálculo Numérico entraba nas marxes da análise matricial (só de lembrar os métodos de Gauss con pivote e a factorización LU  entra un sopor...), e comezabamos o estudo da probabilidade (nunha dimensión e en varias). Cousas interesantes: en Álxebra viamos a Xeometría Proxectiva cando eu aínda non tiña moita idea da Euclidiana; en Xeometría&Topoloxía viamos os rudimentos topolóxicos (espazos Hausdorff, topoloxía cociente, obxectos famosos como a faixa de Möbius...); en Probabilidade lograban ocultar todo o interesante (p.ex. o significado do Th. Bayes, experimentos como o da agulla de Buffon e o concepto de regresión) baixo unha morea de formalismos máis feos que outra cousa. Visto en retrospectiva, deste curso salientaría a Proxectiva e a Topoloxía como os dous campos que me abriron os ollos á beleza matemática.

• O 3º curso introducía a Xeometría Diferencial nos seus aspectos máis tanxibles (curvatura, triedro de Frenet, Gauss-Bonet, Th. Egregium de Gauss...), os Métodos Numéricos III (incontables  en Mathlab ademais de C), os rudimentos da Variable Complexa e a Teoría de Galois/resolubilidade/Ths. de Sylow en Ecuacións Alxébricas, a Inferencia Estatística e as Series de Fourier e as EDP. Neste curso era imposible non quedar abraiado para sempre coa Teoría de Galois (a pesares do mal introducida que estaba) e coa Análise Complexa que tan pouco intuitiva resultaba despois da xeométrica Análise Real.

• 4ª e 5º xa eran cursos ben distintos. O nivel de abstracción subía varios enteiros, como era obvio no estudo da Xeometría en Variedades Diferenciables, a Análise Funcional en Espazos de Banach, a Teoría de Aneis e Módulos ou a Teoría da Medida, todas materias troncais de 4º. Esta treboada de conceptos era complementada coas Ecuacións Diferenciais. En 5º só tiñamos como materia troncal a Variable Complexa, materia fermosa para calquera que a teña estudado a ese nivel. Para rematar os 300 créditos que representaba a carreira había que coller materias optativas nos dous cursos. Isto podía facerse collendo as materias vinculadas a unha especialidade, ou ben simplemente completando o devandito número de créditos. As tres especialidades daquela eran Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e a que seguín eu, Matemática Pura. De tal xeito que as materias optativas que cursei foron: Teoría de Grupos, Grupos de Lie, Homotopía, Topoloxía de Superficies, Álxebra Conmutativa, Álxebra Homolóxica, Álxebra non Conmutativa (en serio), Teoría Clásica de Números, Curvas Alxébricas e Xeometría Alxébrica. Como podedes ver, algo estudei de Álxebra, e iso que problemas no cambio de planos de estudos non me permitiron cursar Teoría de Números Alxébricos no curso que quería... E tamén había unha pequena cantidade de créditos chamados de libre configuración, que permitían escoller entre case todas as asignaturas do campus. Inicialmente un era moi optimista en canto a horarios e desprazamentos a outras facultades, ata que a realidade facía que collese outras materias optativas da propia carreira (moitos matemáticos aproveitaban para coller materias de Lóxica na Facultade de Filosofía-é obvia a razón). No meu expediente constan como de libre configuración materias da propia facultade: Teoría Clásica de Números (que está entre as miñas materias preferidas da carreira), Códigos e Criptografía, Historia da Matemática; tamén a Didáctica da Matemática en Secundaria (que provocou que o meu CAP durase menos tempo) e unha materia a priori sorprendente, Relixión e Mitoloxía Clásicas, optativa da licenciatura de Filoloxía Inglesa, único divertimento que tiven alén das Matemáticas.

Deixo aquí a miña formación universitaria como matemático. Outro día, esperemos que antes de sete meses, continuarei coa miña breve experiencia no deostado Curso de Adaptación Pedagóxica e a iniciación á docencia. Por se aínda un lector houber...

O Teorema de Pitágoras

É ben coñecido entre os profesores de Matemáticas que a demostración máis rápida do Teorema de Pitágoras vén suxerida polo seguinte esquema:

Demostración minimalista

Non só a máis rápida: Littlewood afirmou que a calquera iniciado nas Matemáticas tería que abondar o trazado desa altura para atopar unha demostración do famoso teorema.

Hoxe quero compartir outra imaxe que oculta (ou amosa) unha demostración, practicamente igual de breve que a anterior. A ver que opinades:

Tampouco moi enleada

Obviamente a idea é utilizar o diagrama para amosar o Teorema de Pitágoras no triángulo rectángulo ABC. Sorte!

Ramanujan, o mago

Se lestes a entrada Un par de citas quereredes coñecer un exemplo de xenio con poderes máxicos. Probablemente o último exemplo que entra nos terreos do mito sexa Srinivasa Ramanujan, o autodidacta matemático hindú que mandou unha famosa carta ao teórico de números de Cambridge G.H. Hardy hai 100 anos, presentándose dun xeito humilde como matemático amateur:

"Non tiven educación universitaria mais seguín os cursos ordinarios de secundaria. Despois de deixar o colexio empreguei o tempo libre do que dispuxen para estudar Matemáticas."

Un dos momentos importantes da miña educación matemática non académica seguramente estea no día que en COU o meu profesor, contestando a unha pregunta miña sobre π (que non lembro e que foi no cambio de clases, que daquela algo de vergonza tiña) me contestou que un tal Ramanujan atopara unha serie que converxía rapidamente a π. Daquela eu non sabía nin o que era unha serie, menos o que era unha serie converxente. Tería que esperar uns meses para entendelo... Agora que o penso, o outro fito non exactamente académico pode que sexa o descubrimento dos libros de Martin Gardner na biblioteca de Ferrol.

Na entrada da wikipedia sobre Ramanujan poderedes ler sobre as circunstancias (ben tráxicas) da súa vida e a súa orixinal obra matemática. O meu propósito é mencionar algún dos resultados obtidos por Ramanujan, un dos cales lembrou desde unha perspectiva computacional John Cook nun post recente (no momento de comezar este texto era o último; botádelle a culpa ao atribulado comezo do curso).

Observade esta expresión, composta por radicais dentro de radicais (radicais encaixados, en inglés "nested radical"), proposta para ser avaliada por Ramanujan ao Journal of the Indian Mathematical Society en 1911

$$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+...}}}}}$$

Cando vin por primeira vez este monstro, coñecendo algo sobre fraccións continuas e incluso sobre expresións con radicais máis sinxelas¹, tentei buscar algún tipo de relación que me permitise relacionar os sucesivos termos da sucesión. Como era de esperar, fracasei. Acudín ao espléndido Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (editado entre outros por Hardy) e achei unha marabilla de razoamento. Agarrádevos, que chega un pouco de maxia:

Ramanujan define $n(n+2)=f(n)$ e parte da obvia identidade:

$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}$$

Reescrita coa linguaxe funcional introducida:

$$f(n)=n\sqrt{1+f(n+1)}$$

Iterando esa igualdade...

$$f(n)=n\sqrt{1+f(n+1)}$$

$$=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+f(n+2)}}$$

$$=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+f(n+3)}}}=\cdots ;$$

Pasando ao límite, 

$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots }}}}$$

E avaliando os dous membros en n=1 obtemos o abraiante:

$$3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}}$$

Se alguén ten problemas coa lixeireza coa que se pasa ao límite e se avalía nun punto, que saiba que non vai desencamiñado. Nos Collected Papers Vijayaraghavan amosa que unha condición necesaria e suficiente para que a expresión 

$$T_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\sqrt{a_3+\cdots +\sqrt{a_n}}}}$$

sexa converxente é $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{log{a}_n}{2^n}<\mathrm{\infty }$$

Claro que a expresión explícita para a sucesión no radical de Ramanujan dista de ser evidente

$$a_n=2^{2^{n-1}}\cdot 3^{3^{n-2}}\cdot 4^{4^{n-3}}\cdots (n-1{)}^{2^2}{n}^2$$

En calquera caso, a maxia está na deducción previa, que tanto recorda ao traballo doutro mago das Matemáticas, Leonhard Euler. E non é máis que unha pinga da produción máxico-científica de Ramanujan. Observade por exemplo a serie á que se refería o meu profesor de COU:

$$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!{)}^4{396}^{4n}}$$

Esta fórmula non é só atractiva esteticamente, senón que ademais proporciona 8 novos decimais exactos de π con cada iteración e está detrás das aproximacións de π máis rápidas da actualidade.

Que opinades, hai ou non hai magos nas Matemáticas?

---

1 Entre elas, unha propia de primeiro de carreira: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}}=2$$ ou a máis interesante(se non a coñecedes esta é realmente alucinante): $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}}=\varphi$$ ^↩

Que sorprende pola mañá a un matemático?

Imaxinade que unha mañá calquera, indo ao choio as présas, un baixa ao garaxe e atopa este panorama:

Ningún vehículo foi danado na produción desta imaxe

Veña, adiviñade, que é o que pensa un matemático que é inusual no garaxe para pararse e tirar unha instantánea da escena? Estou certo que algún pode adiviñalo.

Se botas papas, fai click

Obviamente, non pode substraerse a retratar o 7!

Perdoade a brincadeira, estes días de comezo do curso son duros no choio...

Un par de citas

De Science Cartoons Plus

Un aspecto que non trato neste blogue con moita asiduidade (a dicir verdade non sei se o tratei algunha vez) é o do mundo matemático, entendéndoo de xeito amplo como a cultura arredor da ciencia matemática. É dicir, todo aquilo que teña que ver con anécdotas da vida dos matemáticos, opinións, chistes... que tan habituais son nos libros de divulgación. Para solucionar esta falla, hoxe quero compartir as reflexións de dous matemáticos de gran nivel.

A primeira, da estrela de finais do século XX Andrew Wiles, que finalmente demostrou o Último Teorema de Fermat en 1994, é a metáfora más fermosa sobre a experiencia matemática que teño lido:

"Entras no primeiro cuarto da mansión, que está totalmente a escuras. Chocas cos mobles pero gradualmente vas aprendendo onde está cada peza do mobiliario. Por fin, despois de seis meses máis ou menos, atopas a chave da luz, acéndela, e de súpeto todo está iluminado. Podes ver exactamente onde estás. Entón móveste ao seguinte cuarto e pasas outros seis meses a escuras. Así que cada un destes avances, algúns instantáneos, outros que poden levar un día ou dous, é a culminación de, e non podería suceder sen, os moitos meses previos de chocar na escuridade."

Tradución libre de How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox de William Byers.

A outra reflexión é totalmente distinta, pois fai referencia non ao feito matemático senón a unha rigorosa clasificación dos xenios (que por tanto engloba aos xenios matemáticos) do matemático Marc Kac, colaborador doutro científico de primeira orde, o peculiar físico Richard Feynman:

"Hai dúas clases de xenios, os ordinarios e os magos. Un xenio ordinario é un tipo ao que ti ou mesmo eu poderiamos igualar, simplemente se fosemos unhas cantas veces mellores. Non hai misterio algún no xeito no que a súa mente funciona. Unha vez que entendemos o que fixeron, estamos certos de que nós tamén poderiamos facelo. É distinto cos magos. Eles están, usando a linguaxe matemática, no complemento ortogonal de onde estamos nós, e o funcionamento das súas mentes é a todas luces incomprensible. Aínda despois de que entendamos o que fixeron, o proceso que seguiron é completamente escuro. Rara vez teñen discípulos, pois eles non poden ser emulados, e debe resultar moi frustrante para unha mente nova e brillante tentar enfrontarse cos misteriosos camiños polos que transita a mente do mago."

Tradución libre de Mathematics and Common Sense. A case of creative tension de Philip J. Davis

Esta reflexión está nos antípodas das frases que pretenden inspirar ou motivar; para a xente común era abondo sabermos que había xenios, agora aínda por riba descubrimos que hai un tipo afastado de nós mais tamén lonxe dos chamados magos.

Comecemos desmotivados o ano... ou cos pés no chan, tal e como o vexo eu. O contrario podedes atopalo en powerpoints con gatos ou cabezas flotantes no espazo exterior.

A Lei Forte dos Pequenos Números-2

Continuando a entrada anterior, traio hoxe outra xeira de feitos matemáticos que só son certos cando ollamos os primeiros casos, onde o termo "primeiros" é tan difuso como queirades.

• Na liña¹ dos números de Fermat, que tiñan o aspecto $F_n=2^{2^n}+1$, temos os números de Mersenne, coa pinta $M_n=2^n-1$. Como o número $2^{ab}-1$ é divisible por $2^b-1$, un número de Mersenne só pode ser primo se n non ten divisores non triviais, é dicir, se n é primo. Se botamos unha ollada aos primeiros candidatos,$$2^2-1=3,2^3-1=7,2^5-1=31,2^7-1=127$$

,vemos que todos son primos. Coa sorte de que non hai que andar moito para atopar un contraexemplo:

$$2^{11}-1=2048-1=2047=23\cdot 89$$

• Outro feito abraiante: o número $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n-1})-1$, onde n >1, é divisible entre $n^2$ se e só se n é un primo impar.

Observemos os primeiros casos:

n	$n^2$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n-1})$	$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n-1})}{n^2}$
1	1	1	0
2	4	3	0,50
3	9	10	1
4	16	35	2,13
5	25	126	5
6	36	462	12,81
7	49	1716	35
8	64	6435	100,53
9	81	24310	300,11
10	100	92378	923,77
11	121	352716	2915
12	144	1352078	9389,42
13	169	5200300	30771
14	196	20058300	102338,26
15	225	77558760	344705,60
16	256	300540195	1173985,13
17	289	1166803110	4037381
18	324	4537567650	14004838,42
19	361	17672631900	48954659
20	400	68923264410	172308161,02

Neste caso habería que ter moita paciencia ou habilidade cun ordenador para atopar un contraexemplo. Eu de vós non o tentaría a man: o primeiro número n que non é un primo impar que cumpre que $n^2|(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n-1})-1$ é $n=283686649={16843}^2$. Neste casos os números pequenos non o parecen tanto.

• O último (por hoxe) trata sobre a sucesión dos números primos. Calculemos a diferenza entre cada dous primos consecutivos, obteremos así outra sucesión (de diferenzas de 1ª orde). Calculemos o valor absoluto da diferenza de cada dous termos consecutivos desta nova sucesión (dito doutro xeito: calculemos a diferenza entre o maior e o menor de cada dous termos consecutivos). Repitamos o proceso, obteremos infinitas sucesións, cunha propiedade inesperada, observade:

Para tolearmos un pouco

Vedes algo salientable?

Por unha banda é inevitable tolear coa morea de ceros e douses, mais tamén observaredes que despois da primeira ringleira sempre aparece o número 1 ao comezo. Antes de que tentedes comprender este feito, sería útil que souberades que hoxe aínda non se coñece contraexemplo. Este feito é coñecido como Conxectura de Gilbreath, e ademais de no artigo de Richard Guy tamén o atopei en The Math Book de Clifford Pickover. Nese libro Pickover comenta que Norman L. Gilbreath chegou a conxecturar esta persistencia do 1 despois de fedellar un chisco nun pano.Polo visto houbo varias tentativas serias de demostrar esta conxectura, porén permanece invulnerada. O último avance na verificación da conxectura para números pequenos data de 1993 e só chegou a $3\cdot {10}^{11}$. Ou ben a conxectura non resulta atractiva para os investigadores, ou ben resulta demasiado difícil.

John Cook, matemático ben coñecido polo seu blogue The Endeavour e as súas múltiples contas en twitter nas que colga feitos matemáticos interesantes, comenta no seu post sobre esta conxectura que o famoso Paul Erdös cría que quizais tivesen que pasar 200 anos para ver demostrada a observación de Gilbreath. Cook fai un afirmación ben peculiar ao recoñecer que lle interesa máis a afirmación de Erdös que a propia conxectura.

Xa está ben por hoxe. Estou certo que outro día hei compartir algún feito máis destes perversos números pequenos.

---

1 Supoño que haberá que explicar un pouco o paralelismo dos números de Fermat e Mersenne, alén da obviedade de que a potencia que aparece nos dous teña base 2. Para definir os números de Fermat de xeito paralelo aos de Mersenne o xeito inmediato sería $2^n+1$. Por que non o facemos así? Pois porque se o número n ten un factor impar o número $2^n+1$ é automaticamente divisible por 3 (en xeral,  $a+b|a^{2k+1}+b^{2k+1}$ ). De tal xeito que n non pode ter factores impares, i.e., ten que ser unha potencia de 2. ^↩

A Lei Forte dos Pequenos Números

O matemático Richard K. Guy escribiu nos 80 unha interesante listaxe de patróns matemáticos que agroman nos primeiros números naturais para despois morrer, de xeito inesperado ou non. Estes feitos son casos concretos da "Lei Forte dos Pequenos Números", termo acuñado polo propio Guy.

Algúns destes feitos xa apareceron neste blogue, como un que mencionei xa en dúas entradas, de xuño de 2009 (primeiro ano deste blogue,cando participaban alumnos da Rúa de Valdeorras) e maio de 2012. Rescato das arañeiras do tempo a imaxe, que é abondo para saber de que feito estou a falar:

Contade o número de rexións acoutadas
dentro do círculo polos segmentos

O patrón é obvio, cada nova figura duplica o número de rexións, de tal xeito que van aparecendo as sucesivas potencias de 2: $1=2^0,2=2^1,4=2^2,8=2^3,16=2^4,\dots$, pero cando marcamos 6 puntos na circunferencia obtemos, non $2^5=32$ como parecía evidente, senón 31 rexións.

    O outro feito que xa avancei, aínda que fose nun comentario ao post sobre o Problema de Malfatti, é o dos Números de Fermat, introducidos polo coñecido matemático amateur e que teñen o aspecto $F_n=2^{2^n}+1$, polo que os primeiros son:

$$F_0=2^{2^0}+1=2^1+1=3,F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5$$

$$F_2=2^{2^2}+1=2^4+1=17,F_3=2^{2^3}+1=2^8+1=257$$

$$F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1=65537$$

Coa mala sorte de que os cinco números son primos, o que levou a Fermat a aventurar que todos tiñan que selo. Menos dun século despois chegou o matemático probablemente máis hardcore da historia, Leonhard Euler, quen amosou que:

$$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417$$

Outro feito dos enumerados por Richard Guy é máis escuro e a sorpresa tarda un pouco máis en aparecer:

    Agás o 2, todos os números primos son impares, así que podemos clasificalos en dúas clases: os que deixan resto 1 ao seren divididos entre 4 (os 4k+1) e os que deixan resto 3 ao seren divididos entre 4 (os 4k+3). Se observamos cantos números hai de cada tipo entre os primeiros 100 números naturais:

• 4k+3: 3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83  En total 13 primos 4k+3
• 4k+1: 5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,93,97     En total 11 primos 4k+1

Se ampliamos esta criba (coñecida tradicionalmente como "prime number race") facendo o intervalo natural [1,n] máis grande, veremos que os primos 4k+3 sempre van por diante, ou polo menos non quedan atrás, feito que observou por primeira vez Chebyshev:

n	Primos 4k+3	Primos 4k+1
100	13	11
200	24	21
300	32	29
400	40	37
500	50	44
600	57	51
700	65	59
800	71	67
900	79	74
1000	87	80
10000	619	609

Semella coherente conxecturar que os primos 4k+3 sempre gañan a carreira aos 4k+1, non si?

Pois non: se chegamos ata 26861, que é un primo 4k+1, veremos como os 4k+1 toman a dianteira. Pero como sucede que 26861 e 26863 son primos xemelgos, rapidamente os primos 4k+3 empatan. Pouco despois volven á primeira posición. O máis abraiante da historia está por chegar: Littlewood amosou que os primos 4k+1 toman a dianteira nunha infinidade de ocasións. Marabillas da Teoría Analítica de Números, estes saltos están relacionados co comportamento da función $$\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{lnx}lnlnlnx$$

Se queredes máis información sobre estas carreiras de primos, recoméndovos "Prime Number Races", de Andrew Granville e Greg Martin, dispoñible en arXiv.

Como conclusión, non vos fiedes dos números pequenos. Non son trigo limpo.

Solución da adiviña de onte

Tendo en conta o espertos que son os meus lectores (poucos pero de calidade) xa non sería necesario desvelar a solución da adiviña, porén vou comentar onde atopara o aparello e o seu creador. Se por calquera misterio do universo hai algún lector novo do blogue que caese accidentalmente nesta entrada, recoméndolle que vaia primeiro ao anterior post , E isto que é?, onde propoño a adiviña. Para evitar que vexa a solución porei algo comestible como obstáculo:

Outro día falamos de Topoloxía

A imaxe, titulada "Curiosum", representa (como adiviñaron Cadoi e Cibrán nos comentarios), unha regra de cálculo complexa Fuller-Wythe, encamiñada a atopar o produto de dous números complexos. Apareceu no número 2 de "The Mathematical Intelligencer" de 2009 e non é unha fotografía dun obxecto real senón unha imaxe creada por ordenador, en concreto cun programa de modelado 3D chamado POV-Ray, Persistence of Vision Raytracer. Pensándoo ben, ten o seu aquel que a imaxe dunha regra de cálculo complexa non sexa "real".

O autor, Robert J. MacG. Dawson, (profesor de Matemáticas na St Mary's University en Halifax) mantén unha páxina na súa web para a fabricación dunha regra real, ademais duns apuntamentos sobre a historia das regras complexas (hai que baixar pola galería de imaxes elaboradas co POV-Ray para velos). Aló afirma que, aínda que non ten por que ser complicado facer en madeira e papel unha regra real, un modelo dun tamaño práctico presentaría problemas de lectura das escalas. Tamén explica polo miúdo o funcionamento dunha regra plana DuMond e a súa escala logarítmica, máis sinxelo do que agardaba.

A circunstancia de atopar esta imaxe no Intelligencer levoume a pasar unhas horas remexendo entre as ligazóns da web de Robert Dawson. O ubicuo google tamén axudou a atopar outras páxinas interesantes como este compendio sobre a historia do cálculo.

Estas son as cousas que un pode facer no verán, cando non hai fichas/exames que corrixir nin problemas/actividades que imaxinar. Para sermos precisos, son as cousas que un pode facer no verán sen ter a sensación de estar a procrastinar.

E isto que é?

Remexendo por arquivos que tiña perdidos polo disco duro do ordenador, é dicir, non ordenados, atopei nunha revista matemática unha pequena entrada na que preguntaban aos lectores que era este aparello misterioso. Como é de supoñer, "que?" neste caso pode ser contestado como "que fai?", pois é común que as ferramentas queden definidas pola utilidade que teñen máis que polo seu aspecto ou material.

Pois a ver, alguén sabe que é isto?

Pista: non ten nada que ver con xogos de azar, nin con caleidoscopios,...

Se alguén descubre ou adiviña o que é porei a fonte e o autor, que o mérito hai que recoñecelo.

Tempo abondo

Andaba hoxe polo twitter...

Levo tanto tempo escribindo neste blogue que cando me vén un tema á cabeza teño problemas serios para saber se xa o tratei. Por sorte o tema de hoxe é a probabilidade, e en concreto un paradoxo (aparente), polo que non é complicado buscar na etiqueta Paradoxos. Se fose un problema de Xeometría xa tería máis choio. Este paradoxo quizais non sexa tan coñecido como outros probabilísticos como o paradoxo de Bertrand ou o de San Petersburgo, aínda así é ben interesante.

A situación de inicio é tradicional: temos unha urna cunha bóla branca e unha bóla negra. Comezamos un "xogo probabilístico" do seguinte xeito: extraemos unha bóla ao chou e,

• se a bóla é branca rematamos.
• se a bóla é negra devolvémola á urna e engadimos outra bóla negra.

As dúas preguntas inmediatas son:

1. cal é a probabilidade de que remate o xogo, é dicir, de obter nalgún momento unha bóla branca?
2. ... e canto tempo durará por termo medio o xogo?

Vexamos.

A probabilidade de obter bóla branca á primeira extracción é claramente $P_1=\frac{1}{2}$

Se non temos sorte á primeira, é dicir, extraemos unha negra, a probabilidade de sacar branca á segunda vai ser $P_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2\cdot 3}$ , pois agora temos na urna unha bóla branca e dúas negras.

Na terceira extracción será $P_3=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{3\cdot 4}$

Razoando deste xeito chegamos a que obter bóla branca na extracción n-ésima ten probabilidade: $P_n=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\cdot (n+1)}$ De tal xeito que a probabilidade de que o xogo remate vén dada pola suma dunha serie felizmente sinxela de calcular: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots \frac{1}{n\cdot (n+1)}=(1)$$ Agora imos utilizar un truco clásico, que se apoia en primeiro lugar nese procedemento tan aburrido como sinxelo que chamamos "descomposición en fraccións simples" e que leva un tempo considerable en 2º de Bacharelato (co obxectivo de calcular primitivas racionais): Resulta que: $$\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$ (isto ten que ter unha demostración visual, seguro) Así que para calcular a suma buscada, utilizando que a serie é telescópica: $$(1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\cdots =1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n+1}$$
$$=1-0=1$$ Así que con seguridade obteremos unha bóla branca. Vaiamos á segunda pregunta: canto tardaremos por termo medio en obtermos esa bóla branca? A resposta é a consabida esperanza matemática, xeneralización da media en casos finitos: $$E=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n\cdot \frac{1}{n\cdot (n+1)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}=\mathrm{\infty }$$ isto último debido a que a suma da serie harmónica non é finita (probablemente sexa a primeira serie non trivial con suma non finita) Unindo estes dous resultados, temos que a probabilidade de obter bóla branca é 1, mais por termo medio teremos que esperar un tempo infinito.

Os case cinco anos que levo esbardallando pola rede non semellan moito en comparación.

Un problema da olimpíada de Austria

A estas alturas de agosto teño no blogue varias entradas na fase de borrador e sei que é probable que algunha nunca deixe de estar sen rematar. Porén, tiña que compartir primeiro este problema que atopei na 44 Olimpíada de Austria, Competición Federal para estudantes avanzados, que podedes atopar aquí:

Colocamos os números naturais en dúas ringleiras do xeito seguinte:

Feito na folla de cálculo para aliñar as ringleiras

Poñemos o 1 na ringleira superior, o 2 na inferior e o 3 na superior. A partires diso na ringleira superior os números aparecen individualmente mentres que na inferior aparecen en bloques. A cantidade de naturais consecutivos en cada bloque vén determinada polo primeiro número do bloque inmediatamente anterior.Por exemplo, no bloque que comeza no 20 (o 5º) hai 12 números,pois 12 é o primeiro número do 4º bloque.

Se chamamos $a_n$ ao número n-ésimo da ringleira superior, atopar unha fórmula explícita para $a_n$

Aínda que é relativamente sinxelo albiscar a fórmula, o obxectivo é demostrala, lembrade que estamos en Matemáticas e non nunha clase de Economía...